Комп’ютерна модель

Розробка уроку

Тема: комп’ютерна модель та її переваги, поняття комп’ютерного експерименту, основні етапи комп’ютерного моделювання, моделювання предметних галузей.

Мета:

cформувати поняття про:
- комп'ютерне моделювання та його переваги;
- види моделей: розрахункові, графічні, імітаційні тощо;
- поняття комп’ютерного експерименту;
виробити уявлення про основні етапи комп’ютерного моделювання:
- постановка задачі та її аналіз;
- побудова інформаційної моделі;
- розробка методу й алгоритму дослідження моделі;
- розробка комп’ютерної моделі;
- проведення комп’ютерного експерименту.
виховувати уважність, дисциплінованість під час роботи з ПК.

По завершенню вивчення теми учень

пояснює:

комп’ютерна модель;
комп’ютерний експеримент;

описує:

види комп’ютерних моделей;
основні етапи комп’ютерного моделювання;

уміє:

конкретизувати й уточнювати задачі моделювання;
за вибраним методом складати детальний план розв’язування задачі, розробляти алгоритм одержання результатів;
встановлювати та описувати взаємозалежності між параметрами моделі.

Обладнання: комп’ютер з встановленими ОС і програмою проглядання веб-сторінок, проектор, (дана) інструкція.

Структура уроку

Організаційний момент
Актуалізація опорних знань
Вивчення нового матеріалу
Інструктаж з ТБ
Закріплення вивченого матеріалу
Підбиття підсумків уроку
Домашнє завдання

Хід уроку

1. Організаційний момент
Вітання з класом. Перевірка присутності і готовності учнів до уроку. Перевірка виконання домашнього завдання.

2. Актуалізація опорних знань
Історична довідка
Упродовж тривалого часу програми не вважали товаром. Лише після 1976 року почалося масове поширення персональних комп'ютерів. Виникла потреба розробляти різноманітні програми: від службових до ігрових. Спочатку їх створювали ентузіасти, але незабаром для багатьох це стало фахом.

До комерційних програм висувають певні вимоги: вони повинні бути привабливими, виразними й дружніми, інакше їх не купуватимуть. Або програміст повинен стати художником, мультиплікатором, письменником, сценаристом і композитором в одній особі, або необхідно зібрати команду фахівців з відповідними вміннями.

Коли в другій половині 1980-х років представники західних фірм намагалися залучати до роботи програмістів з СРСР, їх спіткала несподівана проблема. Через те, що на теренах СРСР до цього не було комерційного програмування, у програмістів не було ні традицій, ні досвіду щодо відповідного оформлення програм. Вони могли оригінально й талановито написати ядро програми, що становить її суть, але уникали займатися нудною й нетворчою (на їхній погляд) роботою щодо оформлення.

Проблеми щодо оформленням програм було розв'язано у другій половині 1990-х років, коли вся світова індустрія засобів розробки додатків зрушила в напрямку максимального спрощення процесу створення програм, перевівши його на візуальний рівень. Тоді з'явилися так звані системи програмування, якы займалися оформленням програм. Програмісти змогли зосередитися переважно на логіці роботи програм.

3. Вивчення нового матеріалу

Людина у будь-якій діяльності постійно використовує моделі. Діти граються іграшками — зменшеними копіями реальних об'єктів. Для гри використовують не лише готові моделі, а й створені власними руками з пластиліну, деталей конструктора. У школі дітей ознайомлюють з іншими моделями: аплікацією, рисунком, кресленням, глобусом, моделями технічних пристроїв тощо. У подальшому житті люди також використовують моделі — макет (проект) будинку, автомобіля, моделями фізичних, хімічних явищ та процесів.

Модель (латиною modulus — міра, зразок, норма) — це прообраз, опис або зображення якогось об'єкта.

Моделлю може бути будь-який об'єкт, явище або мисленнєвий образ, за допомогою яких вивчають складніший об'єкт. Моделі використовують тоді, коли безпосередньо дослідити відповідні об'єкти-оригінали складно або й неможливо. Моделі використовують також для дослідження об'єктів, яких немає у наяності. Для кожної моделі існує її прототип (оригінал) — той об’єкт, для заміщення якого її призначено.

Моделювання — це процес створення моделі.

Моделювати можна не лише наявні предмети, явища та процеси, але й абстракції, яких немає в реальності (модель невиявленої елементарної частинки); об’єкти, які лише планують створити (проект нової станції метрополітену); явища, які можуть і не відбутися (вибух на хімічному заводі). Моделювання здійснюють з метою пізнання властивостей об’єкта, тому термін моделювання застосовують ще й в іншому значенні: дослідження об’єктів за допомогою побудови й вивчення їхніх моделей.

Моделі поділяють на види різними способами: в залежності від призначення, фактора часу, способу реалізації тощо.

За призначенням розрізняють моделі навчальні, дослідні, науково-технічні, імітаційні та інші.

Навчальні моделі застосовуються для демонстрації та вивчення властивостей об’єкта-оригінала. Наприклад, на шкільних уроках географії використовують модель земної кулі — глобус, на уроках фізики — модель парового двигуна тощо. У підготовці водіїв транспортних засобів, машиністів, льотчиків використовують спеціальні моделі — тренажери, на яких вони відпрацьовують навички управління.

Дослідні моделі широко застосовують при проектуванні механізмів, споруд тощо. Вивчення поведінки чи властивостей моделі дає можливість виявити й усунути помилки у проекті. Наприклад, архітектор створює макет майбутньої споруди, щоб уточнити всі її деталі, перш ніж розпочати реалізацію проекту.

Науково-технічні моделі створюють для дослідження явищ і процесів. Моделювання дозволяє перенести їх вивчення з реальних умов у лабораторні. Наприклад, кульову блискавку відтворюють за допомогою штучно створених електричних розрядів високої напруги.

Імітаційні моделі (імітувати означає підроблювати, наслідувати) застосовують у тих випадках, коли потрібно перевірити дію певних чинників непрямим способом. Наприклад, перед тим як запровадити у вжиток новий лікарський препарат, його випробовують на тваринах. Це імітаційний експеримент.

За фактором часу розрізняють моделі статичні й динамічні.

Статична модель відображає стан об’єкта у певний момент часу. Статичні моделі називають також структурними, бо вони характеризують будову й параметри об’єкта. Прикладами статичних моделей є моделі внутрішніх органів людини, які застосовуються при вивченні анатомії; моделі розподілу економічних ресурсів між країнами світу.

Динамічна модель відтворює зміни об’єкта з плином часу або особливості функціонування об’єкта (тому динамічні моделі називають також функціональними). Прикладом динамічної моделі є модель броунівського руху молекул газу, яка дозволяє спостерігати їх переміщення й зіткнення в обмеженому просторі.

За способом реалізації моделі поділяють на два види — матеріальні та інформаційні.

Матеріальна модель (називають також предметна, натурна, фізична) — це певне реальне втілення прототипу. Наприклад, зменшена копія літака, опудало птаха, макет архітектурного ансамблю тощо.

Інформаційна модель — це інформація про властивості та стан об’єкта, його взаємозв’язки із зовнішнім світом, призначена для проведення теоретичних досліджень.

Фізична карта України, рівняння хімічної реакції, математична функція, розповідь про береги Дніпра — це приклади подання інформаційної моделі. Як і матеріальні моделі, інформаційні моделі одного й того ж об’єкта будуть різні залежно від мети дослідження. Наприклад, інформаційна модель об’єкта «помідор» для постачальника міститиме дані про розміри, умови зберігання, фактори і терміни дозрівання, максимальні терміни зберігання тощо. А для фермера інформаційна модель цього самого об’єкта міститиме дані про час сіяння, регулярність прополювання і поливання, раціональне використання добрив тощо.

За способом подання інформації інформаційні моделі поділяють на:

словесні (усні та письмові описи);
графічні (рисунки, креслення, піктограми, карти);
структурні (таблиці, графіки залежностей, діаграми, схеми);
алгоритмічні (правила, плани дій);
розрахункові (формули, рівняння, нерівності, функції);
спеціальні (хімічні формули й рівняння, нотні записи, записи шахових партій).

Комп’ютерна модель — це інформаційна модель, реалізована з допомогою комп’ютера.

Комп’ютерна модель допомагає спостерігати й досліджувати явища й процеси у динаміці їх розгортання, здійснювати багаторазові випробування моделі, одержувати різноманітні кількісні показники в числовому або графічному поданні, зокрема такі, які вимагають виконання складних, численних або трудомістких розрахунків.

За допомогою комп’ютерного моделювання вивчаються об’єкти та явища, які неможливо, дорого або небезпечно відтворювати в реальних умовах. Це дозволяє не лише економити матеріальні ресурси, а й зберігати екологічні умови існування людини, уникати можливих шкідливих або руйнівних наслідків проведення випробувань. Комп’ютерне моделювання є унікальним інструментом пізнання швидкоплинних або надповільних процесів. Їх можна досліджувати на комп’ютері, розтягуючи чи стискуючи час або навіть зупиняючи його для вивчення певних фаз процесу. Моделювати й вивчати за допомогою комп’ютера можна й такі явища, які не відбувалися, або невідомо, чи відбудуться коли-небудь у реальному житті, — наприклад, зустріч нашої планети з небесним тілом.

Основні етапи комп’ютерного моделювання

Постановка задачі та її аналіз.
Побудова інформаційної моделі.
Розробка методу й алгоритму дослідження моделі.
Розробка комп’ютерної моделі.
Проведення комп’ютерного експерименту.

Розглянемо сутність цих етапів на прикладі такої задачі.

Задача (про Робіна Гуда). Робіну Гуду потрібно передати записку товаришу, якого заточили у в’язницю замку Ноттінгем. Замок оточено високою стіною. Записку можна закинути разом із каменем у вікно в’язниці, але кидати камінь потрібно так, щоб він пролетів крізь бійницю у стіні.

1. Постановка задачі та її аналіз — конкретизація й уточнення задачі моделювання:

з’ясовування, з якою метою створюють модель;
уточнення, які саме результати і в якому вигляді потрібно одержати;
визначення, які дані потрібні для створення моделі, і що власне моделюють;
встановлення, чи є обмеження на вхідні дані, тобто за яких умов можна одержати потрібні результати, а за яких — ні.

Для розглядуваної задачі метою складання моделі є визначення, чи можна закинути камінь до в’язниці, а якщо це можливо, то як має діяти Робін Гуд для досягнення цього результату. Результатом моделювання повинна бути відповідь на (перше) поставлене запитання і, якщо вона позитивна, — рекомендації для Робіна Гуда щодо величини й напряму швидкості каменя із запискою у момент кидання. Для побудови моделі потрібні дані про геометрію споруд (відстань стіни від замку, товщина стіни, висота й розміри бійниці, висота й розміри вікна в’язниці), тобто значення величин, які на рисунку нижче позначено через a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, h₁, h₂.

Також потрібно знати дещо і про Робіна Гуда — на якій висоті r він відпускає камінь при киданні та з якою найбільшою швидкістю v_max він може жбурнути камінь. Припустивши адекватність класичної механіки Ньютона для даного випадку, завжди можна отримати відповідь на поставлене питання.

2. Побудова інформаційної моделі — встановлення й опис взаємозалежностей між параметрами моделі:

визначення всіх параметрів моделі й виявлення всіх взаємозв’язків між ними;
оцінювання того, які з параметрів є істотними при побудові моделі, а якими можна нехтувати. Такий аналіз здійснюють з огляду на поставлену задачу з метою максимального спрощення моделі. Але спрощення не може бути надмірним, щоб модель не втратила адекватності;
запровадження (при потребі) й використання системи умовних позначень, у яких здійснюють опис залежностей між параметрами моделі. У результаті отримують знакову інформаційну модель.

Побудуємо інформаційну модель для нашої задачі. Геометричні параметри споруд позначимо, як показано на рисунку вище. Вважатимемо, що рух каменя відбувається в одній площині, перпендикулярній до земної поверхні. Запровадимо у цій площині прямокутну систему координат:

з початком координат у місці розташування стоп Робіна Гуда;
з горизонтальною віссю абсцис Ox, спрямованою у напрямку кидання;
з вертикальною віссю Oy, спрямованою вгору.

Початкову швидкість каменя позначимо через v, кут до горизонту, під яким Робін Гуд кидає камінь, позначимо через α. Знехтуємо опором повітря і залежністю прискорення вільного падіння g від висоти. Камінь вважатимемо матеріальною точкою, його траєкторію будемо визначати як залежність координат x, y від часу t. Робін Гуд кидає камінь з висоти свого зросту r, перебуваючи на відстані l₁ від стіни. На траєкторію каменя впливають початкова швидкість каменя v і кут α. Згідно із законами класичної механіки маємо:

(1) x = vt cos α;
(2) y = r + vt sin α – gt²/2.

Тут g = 9,81 м/c² — прискорення земного тяжіння. Рівняння (1–2) і є математичною моделлю задачі.

3. Розробка методу й алгоритму дослідження моделі — складання алгоритму дій для одержання потрібних результаті:

з огляду на інформаційну модель добирають або розробляють метод одержання потрібних результатів;
за вибраним методом складають детальний план розв’язання задачі, розробляються алгоритм одержання результатів.

Покажемо на прикладі розглядуваної задачі, що одну й ту саму модель можна досліджувати з принципово різних позицій.

Аналітичний підхід для розглядуваної задачі полягає у такому:

виразити час польоту t через абсцису x:

(3) t = x / v cos α;
виразити ординату точки траекторії через абсцису:

(4) y = r + x tg α – gx² / 2v² cos²α;
визначити моменти часу досягнення абсцисою x тих значень, коли потрібно пролетіти певний отвір:

(5)      t₁ = a₁ / v cos α;
(6)      t₂ = (a₁ + a₂) / v cos α;
(7)      t₃ = (a₁ + a₂ + a₃) / v cos α,

щоб записати умови прольоту каменя з посланням у отвори:

(8)      h₁ < r + a₁ tg α – g (a₁)² / 2v² cos²α < h₁ + b₁;
(9)      h₁ < r + (a₁ + a₂) tg α – g (a₁ + a₂)² / 2v² cos²α < h₁ + b₁;
(10)    h₂ < r + (a₁ + a₂ + a₃) tg α – g (a₁ + a₂ + a₃)² / 2v² cos²α < h₂ + b₂;
визначити абсцису

(11)      x* = tg α : 2(g / 2v² cos²α) = v² sin α cos α / g = v² sin 2α / 2g

й ординату вершини параболи-траекторії:

(12)      y* = r + v² tg²α cos²α / 2g = r + v² sin²α / 2g.

Зауважимо, що при a₁ < x* < a₁ + a₂ має справджуватися така нерівність:

(13)      y* < h₁ + b₁.

В основі виведення формули (12) лежать такі тотожності:

        (14)      aх² + bх + c = a (x² + 2х(b/2a) + (b/2a)²) + c – b²/4a = a (x + b/2a)² + c – b²/4a.

Як бачимо, вираз aх² + bх + c при від'ємному a набуває найбільшого значення

        (15)      (aх² + bх + c)_max = c – b²/4a

при

        (16)      x = – b/2a.

Альтернативою повністю аналітичного дослідження є відтворення процесів (наразі фізичних) з прототипом:

обчислювати координати точок траекторії каменя (з певним кроком за часом);
відобразити траєкторію каменя на креслені споруди;
висновки про результат кидання каменя визначати наочно.

Примітка. Спокуса економити на розробці методу дослідження не така вже й приваблива і має насторожити. У подальшому вона зазвичай призводить до істотно більших витрат обчислювальних ресурсів. Саме це й маємо для розглядуваної моделі. Свого часу потужність радянських комп'ютерів була у 10–15 разів нижчою від потужності американських. Але глибше розроблені методи наближених обчислень допомагали розв'язати ті самі задачі, що й у США. Наприклад, розрахувати аеродинамічні властивості літака чи гідродинамічні властивості підводного човна.

4. Розробка комп’ютерної моделі — одержання комп’ютерної моделі, придатної для дослідження:

вибір засобів реалізації моделі на комп’ютері;
створення комп’ютерної моделі;
перевірка правильності створеної комп’ютерної моделі.

Перевірку здійснюють для знаходження і вилучення помилок, допущених у при створенні моделі. Іноді може з’ясуватися, що помилку було припущено не на даному етапі, а раніше. Наприклад, невдало вибрано метод, зроблено надмірні спрощення при моделюванні тощо. У такому разі потрібно повернутися до відповідного етапу, внести потрібні корективи й повторити всі наступні кроки побудови й дослідження моделі. Для розглядуваної задачі комп’ютерну модель найзручніше будувати в середовищі опрацювання електронних таблиць, в інтегрованому середовищі програмування або у середовищі спеціалізованого математичного пакету.

5. Проведення комп’ютерного експерименту

Комп’ютерний експеримент — дослідження математичної моделі з допомогою комп'ютера, при якому за одними параметрами моделі обчислюють інші її параметри і на цій основі роблять висновки про властивості об’єкта, описані математичною моделлю.

Цей етап складається з таких дій:

розробка плану дослідження;
проведення комп’ютерного експерименту на базі створеної моделі;
аналіз отриманих результатів.

Цей вид дослідження можна лише умовно віднести до експерименту, бо він відображає не власне природні явища чи процеси, а лише є чисельною реалізацією створеної математичної моделі. Результати проведеного експерименту характеризують властивості моделі, а не прототипу. При розбіжності результатів комп'ютерного експерименту і природничого експерименту з прототипом говорять про неадекватність (некоректність) математичної моделі.

У ході експерименту може виникнути потреба виправити план дослідження. Наприклад, поглибити його в деякому напрямку. Отримані результати можуть викликати сумніви, які вимагатимуть вибору іншого методу дослідження, уточнення моделі або навіть внесення змін у постановку задачі. І тоді весь процес починають знову…

Для розглядуваної задачі потрібно спланувати і провести серію спроб для різних відстаней від стіни й різних початкових швидкостей каменя. А саме: змінювати v, α і a₁ у певних проміжках з певним (сталим для кожного параметра) кроком при сталих значеннях інших параметрів. При цьому потрібно вести облік тих наборів значень змінних параметрів, які відповідають прийнятним траекторіям. Наприклад, для сталих a₁ подавати графік відношення v й α для прийнятних траекторій. Одержані результати дадуть нам підстави для висновку, чи має Робін Гуд шанс влучити у вікно, і якщо так, то як йому це зробити.

Після втомливих спостережень траекторій істотним полегшенням для дослідника стане перехід до використання співвідношень (3–13) з використанням саме інтегрованого середовища програмування. Але завжди потрібно бути готовим змінити плани дослідження.

Примітка. Далі для повноти викладу подано теорію квадратичної функції, яку згідно з чинною навчальною програмою, мають вивчати наприкінці 9 класу. Використання поданого матеріалу для ознайомлення на уроці чи при проведенні комп'ютерного експерименту в домашній роботі не є обов'язковим.

Використавши співвідношення:

        (17)      cos^–2α = tg²α + 1

і запровадивши позначення:

        (18)      u = tg α,

нерівності (8–10) можна перетворити на нерівності такого вигляду:

        (19)      au² + bu + c > 0

або

        (20)      au² + bu + c < 0,

у яких коефіцієнти a, b, c не залежать від α, u = tg α. Позначимо:

        (21)      D = b² – 4ac.

Маємо:

        (22)      au² + bu + c = a (u² + 2u(b/2a) + (b/2a)²) + c – b²/4a = a((x + b/2a)² – D/4a²).

При D < 0 знак виразу au² + bu + c не залежить від u і збігається зі знаком a:

        (23)      sign (au² + bu + c) = sign a.

При D = 0 маємо таке:

при u = – b/2a au² + bu + c = 0;
при u ≠ – b/2a справджується рівність (23).

При D > 0 маємо таке:

визначені коренні квадратного тричлена u_± = (– b ± D^1/2)/2a
— корені рівняння au² + bu + c = 0;
існує розклад тричлена на множники:
au² + bu + c = a (u – u_–)(u – u₊);
знак квадратного тричлена au² + bu + c збігається зі знаком a при u < u_– або u₊ < u, тобто коли аргумент менший за менший корінь або більший за більший корінь квадратного тричлена;
знак квадратного тричлена au² + bu + c протилежний до знаку a при u_– < u < u₊, тобто коли аргумент розташовано між коренями квадратного тричлена.

Таким чином, розв'язавши нерівності (8–10) відносно tg α, можна уникнути перебору значень α.

4. Закріплення вивченого матеріалу

Моделювання є потужним методом пізнання дійсності. Модель дає спрощене відтворення об’єкта, проте її можна досліджувати й у такий спосіб вивчати об’єкт-прототип. Моделі бувають різних видів — статичні й динамічні, предметні й інформаційні тощо. Моделі, відтворені на комп’ютері, називаються комп’ютерними. Такі моделі дають змогу досліджувати різні явища, не витрачаючи матеріальних ресурсів, без загрози для здоров’я людини, встановлювати причини минулих подій, прогнозувати майбутні. Комп’ютерне моделювання відбувається в декілька етапів, на кожному з них вирішуються певні завдання. Останнім етапом є проведення комп’ютерного експерименту, за результатами якого одержують нову інформація про об’єкт дослідження.

Що таке модель? Подайте приклади моделей.
Який є поділ модедей за призначенням?
Який є поділ модедей за фактором часу?
Який є поділ модедей за способом реалізації?
Який є поділ інформаційних модедей за способом подання інформації?
Що таке комп'ютерна модель?
Які переваги комп'ютерного моделювання?
Які є основні етапи створення комп'ютерної моделі?
Що таке комп'ютерні експерименти?
Створити інформаційну модель об’єктів «квітка» й «кавун» з точки зору:
- художника;
- медика;
- ботаніка;
- постачальника;
- покупця.
Відстань між містами А і В дорівнює 50 км. З цих міст одночасно назустріч один одному виїхали два велосипедисти зі швидкостями 15 км/год і 12 км/год відповідно. Опишіть математичну модель для визначення відстані між ними у будь-який момент часу t.

5. Підбиття підсумків уроку
Виставлення оцінок.

6. Домашнє завдання

Вивчити матеріал уроку і знати розгорнуті відповіді на контрольні запитання.
Врахувавши подані рекомендації, провести комп'ютерний експеримент для розглянутої у класі математичної моделі в середовищі опрацювання електронних таблиць, в інтегрованому середовищі програмування або у середовищі спеціалізованого математичного пакету (на вибір), використовуючи аналітичний підхід або відтворення процесів з прототипом зображення траекторії на тлі зображень споруд (на вибір).

Текст упорядкувала Шульга Ольга Володимирівна, вчитель Київського професійного електромеханічного ліцею Святошинського району міста Києва, під час виконання випускної роботи на курсах підвищення кваліфікації з 15 вересня по 3 жовтня 2014 року.