Створення і опрацювання математичних моделей

Розробка уроку

Тема: cтворення й опрацювання моделей на прикладах задач з математики в різних програмних середовищах.

Мета:

сформувати навички створення і опрацювання моделей задач з математики;
ознайомити з етапами побудови й опрацювання моделі;
розглянути приклади побудови і опрацювання моделей задач з математики у середовищах LibreOfficeCalc і Geogebra.

По завершенню вивчення теми учень повинен:

мати уявлення про зміст понять:
- комп’ютерна модель;
- комп’ютерний експеримент;
- використання інформаційних технологій;
описувати:
- види комп’ютерних моделей;
- основні етапи комп’ютерного моделювання;
вміти:
- добирати або розробляти метод одержання потрібних результатів;
- за вибраним методом складати детальний план розв’язування задачі;
- розробляти алгоритм одержання результатів;
- добирати засоби реалізації моделі на комп’ютері;
- створювати моделі в різних програмних середовищах.

Обладнання й матеріали: ПК (вчителя) з встановленими ОС, LibreOfficeCalc, Geogebra, проектор, роздатковий матеріал з умовою задачі 3 (див. далі).

Структура уроку

Організаційний момент.
Актуалізація опорних знань.
Вивчення нового матеріалу.
Інструктаж з ТБ.
Закріплення вивченого матеріалу.
Підбиття підсумків уроку.
Домашнє завдання.

Хід уроку

1. Організаційний момент
Вітання з класом, перевірка присутності учнів. Перевірка виконання домашнього завдання.

2. Актуалізація опорних знань.

За призначенням розрізняють моделі навчальні, дослідні, науково-технічні, імітаційні та інші. Які сфери застосування кожної з них?
За фактором часу розрізняють моделі статичні й динамічні. У чому різниця між ними?
За способом реалізації моделі поділяють на два види — матеріальні та інформаційні. У чому різниця між ними?
Що таке комп’ютерна модель?
Основні етапи комп’ютерного моделювання такі:
1. Постановка задачі та її аналіз.
2. Побудова інформаційної моделі.
3. Розробка методу й алгоритму дослідження моделі.
4. Розробка комп’ютерної моделі.
5. Проведення комп’ютерного експерименту.
У чому полягає їхня суть?
За способом подання інформації інформаційні моделі поділяють на: словесні, графічні, структурні, алгоритмічні, розрахункові, спеціальні. Подайте приклади.

3. Вивчення нового матеріалу

Як ми вже дізналися, побудова будь-якої моделі — це достатньо складне завдання. Хоча вміння правильно моделювати задачу корисне не лише під час вивчення інформатики, але й у повсякденному житті. Протягом уроку ми розглянемо приклади побудови і опрацювання моделей для конкретних математичних задач, з якими ви вже зустрічались. Таким чином, ми зможемо як фахівці оцінити доцільність використання моделювання для вирішення завдань іншого предмету.

При розв'язуванні задач будемо діяти за таким планом (можливо, лише проговорюючи усно деякі моменти, про які часто навіть не задумуються):

Ознайомитися з умовою задачі або чітко сформулювати її.
Проаналізувати умову задачі, тобто знайти відповіді на такі питання:
- Що дано?
- Що потрібно визначити?
- При яких припущеннях?
- У якому вигляді потрібно (доречно, найкраще) подати результати?
- За яких умов можна отримати результати?
- Які результати вважати правильними?
Передбачити розв'язання задачі з допомогою комп'ютера. Розв'язання задачу необхідно підготувати до втілення його програмою: підібрати формули, встановити порядок виконання дій тощо. Для алгоритмічно складних задач потрібно сформулювати розв'язання у вигляді, зручному для перекладу алгоритмічною мовою.
Визначити метод розв'язання задачі, від чого залежить, яку програму доцільно буде використати.
Розробити алгоритм на основі обраного методу
Втілити алгоритм за допомогою програмного забезпечення.
Протестувати й налагодити програму (електронний документ).
Провести остаточні розрахунки, проаналізувати отримані результати.

Задача 1. Дано три числа. Перевірити, чи існує трикутник, довжини сторін якого збігаються з цими числами. У разі позитивної відповіді, обчислити площу трикутника.

Умова задачі не вимагає уточнення.
З умови задачі маємо:
- дано: a, b, c — дійсні додатні числа;
- потрібно знайти відповідь на запитання: «Чи існує трикутник, довжини сторін якого дорівнюють a, b, c?». У випадку, якщо такий трикутник існує, обчислити його площу S.
Сценарій розв'язання задачі: з курсу геометрії виділити умову існування трикутника з даними довжинами сторін a, b, c — одночасне справдження таких трьох нерівностей:
a < b + c,
b < c + a,
c < a + b.
Далі потрібно вибрати формулу для обчислення S — площі трикутника — за відомими його сторонами a, b, c — формулу Герона:

__________________

S = √ p (p – a) (p – b) (p – c) ,
де p =(a + b + c)/2.
Більшість задач з математики можна розв'язати за допомогою перетворень і (або навіть лише) з використанням алгебричних формул. У таких випадках доцільно використовувати:
- табличні процесори LibreOfficeCalc чи MS Office Exel (для ОС Windows);
- середовища прогамування FreePascal чи СodeBlocks з С++;
— програми, що «вміють лише рахувати», або ті, що «вміють робити аналітичні перетворення» (наприклад, Reduce). Деякі задачі,доцільно розв'язувати із застосуванням рисунку. В такому випадку стане у нагоді графічний спосіб вирішення задачі з відповідним програмним забезпеченням. Скористаємося алгебричним способом розв'язання для цієї задачі як найзручнішим.
– 6. На чистому аркуші електронної таблиці введемо:
- у клітини A1:A3 — позначення вхідних даних;
- у клітини A4 й А6 — позначення вихідних даних;
- у клітину A5 — позначення для допоміжної змінної p;
- у клітини B1:B3 — значення вхідних даних;
- у клітину B4 — формулу для визначення умови існування трикутника:
  =IF(AND(B1<B2+B3;B2<B3+B1;B3<B1+B2);"існує";"не існує"))
- у клітину B5 — формулу для обчислення півсуми p: = SUM(B1:B3)/2
- у клітину B6 — формулу для обчислення площі S:
  =IF(AND(B1<B2+B3;B2<B3+B1;B3<B1+B2);SQRT(B5*(B5-B1)*(B5-B2)*(B5-B3));"")
Велика перевага розв'язання за допомогою електронних таблиць — можливість копіювати написану формулу й аналізувати розв'язки для різних вхідних даних, подані на одному аркуші.

Тестуємо програму для таких вхідних значень (у перших двох випадках трикутник існує, в інших – ні).

a 13 3 10 3 3

b 14 4 4 9 4

c 15 5 5 5 8

S 84 6
Аналізуємо отримані результати. У разі потреби редагуємо формули.

a	13	3	10	3	3
b	14	4	4	9	4
c	15	5	5	5	8
S	84	6

Задача 2. У дядька Василя є басейн у дворі. Іноді Василь їздить до річки та привозить воду до басейну в цистерні. Відомі розміри басейну: ширина — 4,3 м, висота — 2 м, довжина — 5,8 м, і об’єм цистерни 4,5 м³. Скільки разів необхідно Василю з'їздити до річки за водою, щоб наповнити басейн наполовину?

Умову задачі чітко сформульовано, вона не вимагає переформулювання.
В умові дано a, b, c — габарити басейну; V — об’єм цистерни. Потрібно визначити n — кількість поїздок Василя за водою до річки, щоб наповнити басейн наполовину.
Сценарій розв'язання задачі: знайти об'єм басейну V_б, а потім n — шукану кількість поїздок за водою.
Скористаємося алгебричним способом розв'язання.
Обчислимо:
V_б = abc — об’єм басейна;
n = V_б : (V : 2) = 2V_б : V — шукану кількість поїздок за водою.
На чистому аркуші електронної таблиці введемо:
- у клітини A1:G1 — позначення параметрів моделі;
- у клітини А2:D2 — значення вхідних даних;
- у клітину E2 — формулу для обчислення об'єму басейну V_б: =B2*C2*D2
- у клітину F2 — формулу для n: =CEILING(2*F2/E2;1)
Тестуємо програму для довільних додатних вхідних значень.
Аналізуємо отримані результати. У разі потреби редагуємо формули.

Задача 3. Вписати коло в заданий трикутник.

Умова задачі не вимагає уточнення.
В умові дано трикутник, а потрібно побудувати вписане у нього коло, тобто вказати його центр і радіус.
Сценарій розв'язання задачі: знайти центр, а потім — радіус вписаного кола.
Метод розв'язання — графічний.
Алгоритм розв'язання має такий вигляд: знайти центр вписаного кола як точку перетину бісектрис внутрішніх кутів трикутника, а потім — радіус вписаного кола як відстань від знайденого центра кола до його сторін даного трикутника. У середовищі Geogebra усі кроки можна здійснити, виконавши такі вказівки:
Панель об'єктів і Полотно (викликати вказівкою меню Вид / …) матимуть такий вигляд.
Тестуємо програму, перетягуючи вершини трикутника A, B, C і оновлюючи натисканням клавіш Ctrl + F або вказівкою меню Вид / Оновити.
Аналізуємо отримані результати. У разі потреби редагуємо означення об'єктів.

4. Інструктаж з ТБ
5. Закріплення вивченого матеріалу

Задача 4. У паралелограмі відомо довжини двох суміжних сторін і градусна міра кута між ними. Знайти площу паралелограма та описати коло навколо трикутника, утвореного двома сторонами й меншою діагоналлю паралелограма. Задачу розв’язати двома способами. Розв'язання записати у теку Ваше прізвище у місці, вказаному вчителем.

6. Підбиття підсумків уроку
Перевірка виконання завдань, обговорення відповідей і виставлення оцінок за роботу на уроці.

7. Домашнє завдання
Вивчити матеріал уроку. Проаналізувати розв'язання задач 1, 2, 3. У разі потреби доробити задачу 4.

Текст упорядкувала Міняйло Алла Андріївна, вчитель школи І–ІІІ ступенів № 192 Деснянського району міста Києва, під час виконання випускної роботи на курсах підвищення кваліфікації з 2.02.2015 по 20.02.2015.

	__________________
S = √	p (p – a) (p – b) (p – c)	,