Тема: створення математичної моделі фізичного процесу дифузії двох газів.

Мета уроку: навчити будувати моделі динамічних систем на прикладі унаочнення процесу дифузії.

Обладнання: комп’ютери зі встановленими ОС та текстовим редактором.

Структура уроку

1. Організаційний момент.
2. Актуалізація опорних знань.
3. Інструктаж з ТБ.
4. Вироблення практичних навичок.
5. Підбиття підсумків уроку.
6. Домашнє завдання.

Хід уроку

1. Організаційний момент
Вітання з класом. Перевірка присутності і готовності учнів до уроку. Перевірка виконання домашнього завдання.

2. Актуалізація опорних знань

Дифузія газів — це явище взаємопроникнення двох або кількох речовин.

Дифузію спостерігають у газі, якщо цей газ неоднорідний за складом, тобто якщо він складається з двох або більше речовин, концентрації яких змінюються від точки до точки. Процес дифузії полягає у тому, що кожна зі складових суміші переходить із тих частин об’єму газу, де її концентрація вища, туди, де вона нижча. У результаті процесу дифузії у газі концентрація кожної складової стане однаковою в усіх точках простору, зайнятого газом.

Удар — процес взаємодії фізичних тіл між собою зі значними силами впродовж відносно короткого проміжку часу.

При всіх ударах у замкненій системі справджується закон збереження імпульсу. При пружному ударі сума потенціальних і кінетичних енергій механічного руху тіл зберігається.

Розглянемо замкнену систему (сукупність) N фізичних тіл. Позначимо:

• m₁, m₂, … m_N — маси цих тіл;

• r₁, r₂, … r_N — вектори, спрямовані з початку координат у центри мас цих тіл;

• v₁, v₂, … v_N — вектори швидкостей цих тіл.

Усі ці величини залежать від часу. Замкненість системи означає відсутність взаємодії з іншими фізичними тілами чи полями. У такій системі вектор r, спрямований з початку координат у центр мас, задовольняє рівність:

Рівність щодо векторів (їхні позначення виділено жирним шрифтом) потрібно тлумачити як систему (одночасне справдження) відповідних рівнять за кожною з координат. Аналогічна залежність швидкості центра мас від швидкостей і мас:

Тут ділене (чисельник) — сталий імпульс замкненої системи.

Розглянемо систему двох фізичних тіл у довільній інерційній системі відліку зі швидкостями v₁ і v₂. Позначимо через u₁ і u₂ швидкості цих точок у системі відліку, в якій цетр мас системи матеріальних точок нерухомий. Маємо (до пружного зіткнення):

v₁ = u₁ + (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂);

v₂ = u₂ + (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂);

(1)         u₁ = v₁ – (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂) = m₂ (v₁ – v₂) / (m₁ + m₂);

(2)         u₂ = v₂ – (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂) = m₁ (v₂ – v₁) / (m₁ + m₂);

Позначимо через w₁ і w₂ швидкості тіл після пружного удару у системі відліку з нерухомим центром мас. Маємо:

(3)         m₁u₁ + m₂u₂ = 0 = m₁w₁ + m₂w₂ — закон збереження імпульсу руху.

(4)         m₁u₁²/2 + m₂u₂²/2 = m₁w₁²/2 + m₂w₂²/2 — закон збереження кінетичної енергії.

Якщо замість тіл розглядати матеріальні точки, які у вибраній системі відліку до удару рухаються вздовж однієї прямої у протилежних напрямках, то після пружного зіткнення вони будуть рухатися вздовж тієї самої прямої. Тому при переході до співвідношень між швидкостями вздовж відповідного напрямку отримаємо таке:

(5)         m₁u₁ + m₂u₂ = 0 = m₁w₁ + m₂w₂.

Підставивши:

v₂ = – m₁v₁ / m₂,

u₂ = – m₁u₁ / m₂

в рівняння (4), отримаємо:

(6)         w₁ = ± u₁;

(7)         w₂ = ± u₂,

де знаки потрібно вибирати синхронно, тобто або «+», або «–» в обох рівностях одночасно. Знак «+» описує відсутність взаємодії, знак «–» описує пружне зіткнення.

Матеріальні точки — абстракція, яку неможливо використати для створення повноцінної моделі, що передбачає взаємодію (удари) молекул між собою, а не лише зі стінками ємності. Щоб у цьому переконатися, достатньо на більярдному столі зіштовхнути дві однакові кулі зі швидкостями, однаковими за величиною, але протилежними за напрямами. Якщо зіткнення буде центральним (тобто центри куль рухатимуться вздовж лінії центрів), то після удару напрями руху куль зміняться на протилежні у повній відповідності з формулами (6–7). Інакше вони відхиляться. Тому у моделі твердих сфер (чи твердих дисків) потрібно узагальнити формули (6–7) на випадок нецентрального удару без обертання. Маємо:

• складові u_1/2 вздовж площин, спільних дотичних до сфер (дисків) у момент удару, не змінюють своєї величини і напрямку;

• складові u_1/2, перпендикулярні до площин (прямих), спільних дотичних до сфер (дисків) у момент удару, не змінюють своєї величини, але змінюють свій напрям на протилежний.

Таке перетворення швидкостей зберігає імпульс і кінетичну енергію поступального руху.

Якщо e — вектор одиничної довжини, перпендикулярний до площини (прямої) дотику, то відповідне перетворення задано такими формулами:

(8)         w₁ = u₁ – 2(u₁ · e) e;

(9)         w₂ = u₂ – 2(u₂ · e) e,

що узагальнюють формули (6–7). Вираз (u · e) — скалярний добуток векторів u і e — сума попарних добутків відповідних координат векторів u і e. Вектор e можна знайти як результат нормування (поділу на власну довжину) вектора, спрямованого з центра однієї сфери (диска) до центра іншої сфери (диска).

Розрахунок часу до удару у системі двох твердих сфер
Центри сфер до удару перебувають у рівномірному поступальному русі. Їхні координати задовольняють такі рівняння:

x₁(t) = x₁(t₀) + (t – t₀) · v_1x ;
y₁(t) = y₁(t₀) + (t – t₀) · v_1y ;
z₁(t) = z₁(t₀) + (t – t₀) · v_1z ;

x₂(t) = x₂(t₀) + (t – t₀) · v_2x ;
y₂(t) = y₂(t₀) + (t – t₀) · v_2y ;
z₂(t) = z₂(t₀) + (t – t₀) · v_2z .

Для сфер з радіусами r₁ і r₂, які дотикаються ззовні, справджується така рівність:

(x₂(t) – x₁(t))² + (y₂(t) – y₁(t))² + (z₂(t) – z₁(t))² = (r₁ + r₂)²,

тобто

(10)          a (t – t₀)² + b (t – t₀) + c = 0;

(11)          a = (v_2x – v_1x)² + (v_2y – v_1y)² + (v_2z – v_1z)²;

(12)          b = 2(v_2x – v_1x) · (x₂(t₀) – x₁(t₀))
(12)          b + 2(v_2y – v_1y) · (y₂(t₀) – y₁(t₀))
(12)          b + 2(v_2z – v_1z) · (z₂(t₀) – z₁(t₀));

(13)          c = (x₂(t₀) – x₁(t₀))² + (y₂(t₀) – y₁(t₀))² + (z₂(t₀) – z₁(t₀))² – (r₁ + r₂)².

У випадку, коли сфери мають однакові (за величиною та напрямом) швидкості, удар неможливий і справджується рівність a = 0. Інакше a > 0.

При b² – 4ac < 0 ≠ a рівняння (10) дійсних розв'язків немає.

При b² – 4ac ≥ 0 ≠ a потрібно серед додатних розв'язків відносно (t – t₀) вибирати найменший для зна­ход­ження часу до удару. Якщо таких додатних розв'язків немає, удар (без взаємодії з іншими сферами чи стінками ємності) неможливий.

3. Інструктаж з ТБ
4. Вироблення практичних навичок

Завдання. Описати алгоритм створення комп'ютерної моделі, яка наочно моделює фізичний процес дифузії двох газів. Опис зберегти у файлі з назвою Ваше_прізвище у теці, вказаній учителем.

Порівняти з очікуваним:

1. Вибрати модель ємності: прямокутний паралелепіпед.

2. Вибрати модель зображення: круги різних кольорів (наприклад, синього і червоного) на чорному чи білому тлі.

3. Вибрати систему координат і спосіб відображення результатів моделювання: осі координат розташувати паралельно ребрам паралелепіпеда, використати паралельне проектування на площину xOy. Для моделі твердих дисків аплікату в розрахунках не використовувати. Пепегородку відображати тонкою вертикальною смугою шириною 2 пікселі. Молекули різних видів зображають кругами різних кольорів (наприклад, синього і червоного).

4. Створити файл (файли) програми, щоб втілювати всі наступні кроки. Для полегшення роботи при створенні й аналізі програми у коментарях вказувати номер кроку після певного символа #. Наприклад, //# VII.3 або //# V, якщо крок V не розбито на частини, занумеровані арабськими цифрами.

5. Надати значення параметрам моделі:

   • розміри ємності (у довільних одиницях);
   • розміри зображення моделі у пікселях;
   • для кожного з двох типів об'єктів (сфер чи дисків):
     • кількість;
     • радіус зображення у пікселях;
     • радіус (у тих самих одиницях, що й розміри ємності);
     • масу (для наочності бажано пропорційно степеню радіуса);
     • верхню межу координат швидкостей (стала);
     • приріст часу між виведенням зображень;

6. Описати структуру даних:

   • масиви часів зіткнень об'єктів між собою та зі стінками ємності за умови, що інших зіткнень не буде;

   • масиви координат і швидкостей;
   • число "нескінченість";
   • коефіцієнти рівняння (10);
   • дискримінант рівняння (10) або корінь квадратний з нього;
   • розв'язки рівняння (10);
   • поточний час;
   • час наступного виведення зображення на екран;
   • верхня межа абсциси центрів об'єктів типу a;
   • нижня межа абсциси центрів об'єктів типу b;
   • часи наближчих у часі ударів серед:
     • усіх можливих;
     • ударів об стінку об'єктів типу а;
     • ударів об стінку об'єктів типу b;
     • ударів об'єктів типу a між собою;
     • ударів об'єктів типу b між собою;
     • ударів об'єктів типу a і b;
   • координати вектора швидкості центра мас;
   • координати вектора e у рівнностях (8-9);
   • скалярні добутки у рівнностях (8-9);
   • номер об'єкта типу а з найменшим часом зіткнення зі стінкою;
   • номер стінки з найменшим часом зіткнення з об'єктом типу а;
   • номер об'єкта типу b з найменшим часом зіткнення зі стінкою;
   • номер стінки з найменшим часом зіткнення з об'єктом типу b;
   • менший номер об'єкта типу а з найменшим часом зіткнення з об'єктом типу а;
   • більший номер об'єкта типу а з найменшим часом зіткнення з об'єктом типу а;
   • менший номер об'єкта типу b з найменшим часом зіткнення з об'єктом типу b;
   • більший номер об'єкта типу b з найменшим часом зіткнення з об'єктом типу b;
   • номер об'єкта типу а з найменшим часом зіткнення з об'єктом типу b;
   • номер об'єкта типу b з найменшим часом зіткнення з об'єктом типу a;
   • лічильники циклів.

7. Описати такі дії:

   1. Надати випадкові значення координатам центрів об'єктів на віекторів їхніх швидкостей з урахуванням того, що кожний тип об'єктів розташовано у своїй частині ємності без перекриття (перетину) різних об'єктів.

   2. Обчислення часу зіткнення об'єкту зі стінкою ємності чи перегородкою, за умови, що зіткнень з іншими об'єктами не буде.

   3. Обчислення часу зіткнення двох рухомих об'єктів за умови, що зіткнень з іншими об'єктами не буде, згідно з формулами (10–13).

   4. Обчислення найменшого часу до зіткнення та відповідних об'єктів.

   5. Зміна властивостей усіх рухомих об'єктів при переміщенні вздовж траекторій рівномірного поступального руху за даний проміжок часу.

   6. Зміна властивостей усіх рухомих об'єктів при здійсненні удару між рухомим об'єктом і нерухомою стінкою ємності:

      • поверхню ємності вважати нерухомою;

      • при зіткненні рухомого об'єкта з поверхнею ємності:

        • складова швидкості, дотична до поверхні у точці зіткнення, не змінюється;

        • складова швидкості, перпендикулярна до поверхні, зберігає свою абсолютну величину, але змінює свій напрям на протилежний.

      Для обраних виду ємності й системи координат при початковій швидкості v(v_x, v_y, v_z) зміна напрямку швидкості після відбивання від поверхні, що лежить у площині зі сталою однією координатою, має такий вигляд:
      • x = const:       v(v_x, v_y, v_z) → v(– v_x, v_y, v_z);
      • y = const:       v(v_x, v_y, v_z) → v(v_x, – v_y, v_z);
      • z = const:       v(v_x, v_y, v_z) → v(v_x, v_y, – v_z).

   7. Зміна властивостей усіх рухомих об'єктів при здійсненні удару між двома даними рухомими об'єктами. При використанні формул (8–9) для удару сфер з радіусами r₁ і r₂, центрами у точках з координатами (x₁, y₁, z₁) та (x₂, y₂, z₂) координати вектора e такі:
      
      x_e = (x₂ – x₁) / (r₂ + r₁);
      y_e = (y₂ – y₁) / (r₂ + r₁);
      z_e = (z₂ – z₁) / (r₂ + r₁).

   8. Прибирання перегородки.

   9. Відображення результатів поточного стану об'єктів з використанням паралельного або центрального проектування.

8. Перевірити роботу програми, у разі потреби внести зміни у текст програми.

9. Записати текст програми у файл з назвою Ваше прізвище у теку, вказану вчителем теку.

10. Порівняти створену програму з демонстраційним розв'язанням.

Примітка. Описана вище модель реалізує принципи так званої молекулярної динаміки у моделі твердих дисків (сфер). Вилучивши з неї все, пов'язане зі взаємодією між молекулами, отримаємо модель дифузії ідеальних газів, молекули яких взаємодіють лише зі стінками контейнера.

5. Підбиття підсумків уроку
Виставлення оцінок.

6. Домашнє завдання
У разі потреби доопрацювати модель.

Текст упорядкував Олександр Рудик.