Тема: базові поняття обчислювальної геометрії.

Мета:

• навчальна:ознайомити з базовими поняттями обчислювальної геометрії;
• розвивальна: розвинути логічне мислення й асоціативне мислення;
• виховна: виховувати наполегливість, інтерес до пізнання нового.

Обладнання: ПК з встановленим браузером і середовищем програмування або стійким сполученням з Інтернетом для використання середовищ програмування online, дана інструкція,

Структура уроку

1. Організаційний момент.
2. Актуалізація опорних знань.
3. Вивчення нового матеріалу.
4. Інструктаж з ТБ.
5. Вироблення умінь і навичок.
6. Підведення підсумків уроку.
7. Домашнє завдання.

1. У якому відношенні бісектриса кута 3-кутника поділяє протилежну сторону?
2. Що таке вектор?
3. Що таке напрям вектора?
4. Що таке довжина вектора?
5. Що таке протилежно спрямовані вектори?
6. Що таке скалярний добуток двох векторів?
7. Що таке додатний напрям вимірювання кутів?
8. Що таке додатно орієнтована трійка векторів?

3. Вивчення нового матеріалу

Примітка. Частину поданих у розділі 3 відомостей доречно перенести у розділ 2, якщо учні засвоїли відповідні знання на уроках математики.

Рівняння прямої на площині
Для довільної прямої на координатній площині існує вектор v(α; β) довжини 1:

спрямований від початку координат до прямої і перпендикулярний до неї. Вектор єдиний, якщо пряма не проходить через початок координат, і його визначають з точністю до напряму в іншому разі.

Позначимо через δ ≥ 0 відстань від початку координат до даної прямої, через М(x₀; y₀) — довільну точку координатної площини, через M' — її проекцію на перпендикуляр до прямої, проведений з початку координат. Маємо:

де φ — кут між векторами OM і v. Отримана сума — довжина проекції ОМ на промінь ОM', що містить v і дорівнює:
+ ОM', якщо ОM' та v однаково спрямовані;
– ОM', якщо ОM' та v протилежно спрямовані (див. рисунок нижче).

Таким чином, відстань від точки М(x₀; y₀) до прямої дорівнює:

Отже, точка (х; у) належить до прямої тоді й лише тоді, коли

Отримане рівняння за вказаних вище умов називають нормальним рівнянням прямої на декартовій площині. Помноживши обидві частини рівняння на дійсне число, відмінне від нуля, отримаємо загальне рівняння прямої на площині:

Якщо С ≠ 0, то нормальне рівняння отримують з попереднього множенням обох частин рівняння на

якщо С = 0, то множенням на

Тому відстань від точки М(x₀; y₀) до прямої, яку задано загальним рівнянням, дорівнює:

Маємо: u (A; B) — вектор, перпендикулярний до прямої, w (В; – А) — вектор, паралельний прямій. Якщо A² + В² ≠ 0, нерівності Ах + Ву + C > 0 і Ах + Ву + C < 0 задають на координатній площині півплощини, розділені прямою.

Параметричне рівняння прямої, що проходить через точку (x₀; y₀) паралельно вектору w (l; m), має такий вигляд:

Канонічне рівняння цієї прямої має такий вигляд:

Примітка. У канонічному рівнянні прямої (на площині чи у просторі) припустимо писати у знаменнику нуль. Це тлумачать як тотожну рівність нулю чисельника, тобто сталість відповідної координати.

Рівняння прямої, що проходить через дані різні точки (x₀; y₀) і (x₁; y₁), має такий вигляд:

Якщо АВС ≠ 0, то із загального рівняння прямої на площині можна отримати рівняння прямої у відрізках:

де а — абсциса точки перетину прямої з віссю абсцис, b — ордината точки перетину прямої з віссю ординат.

Інколи пряму координатної площини можна подати як графік функції y = kx + b, де k = tg φ — кутовий коефіцієнт — тангенс кута φ, що вимірюють від додатного напряму осі абсцис до прямої-графіка, b — ордината точки перетину прямої-графіка з віссю ординат.

Теорема 1. Площа паралелограма, сторони якого — вектори b (b₁; b₂) і c (c₁; c₂), дорівнює

Доведення. Позначимо через φ — кут між векторами v₁ і v₂. Тоді шукана площина дорівнює:

Цей результат можна отримати з допомогою теореми додавання для тригонометричних функцій. Нехай φ₁, φ₂ — кути від додатного напряму осі абсцис до напрямів векторів відповідно v₁ і v₂. Тоді шукана площа дорівнює:

Теорема 2. Напрям v₂ (c₁; c₂) отримують з напряму v₁ (b₁; b₂) поворотом на кут φ ∈ (0; π) у додатному напрямку вимірювання кутів тоді й лише тоді, коли справджується така нерівність:

Теорема 3. Нехай (x₁; y₁), (x₂; y₂), ... , (x_n; y_n) — послідовні вершини n-кутника. Тоді площа цього многокутника дорівнює такому виразу:

де x_{n + 1} = x₁, y_{n + 1} = y₁.

Доведення. У випадку опуклого многокутника, що містить початок координат, вираз:

• внаслідок теореми 2 й адитивності площі вставлення додаткових «вершин» на стороні не змінює суму;

• можна доповнити множину вершин многокутника «вершинами» на його сторонах таким чином, щоб промені з початком у початку координат і кінцям у «вершинах» (початкових і новостворених) не перетинали «сторони» у внутрішніх точках і враховувати доданки з формулювання теореми 3 у порядку проходження кутів між променями зі спільним початком у початку координат, що містять вершини.

                  

Пояснення до малюнків. При проходженні «сторони» у додатному напрямку вимірювання кутів (відрізок, зафарбований червоним на малюнку ліворуч) відповідний доданок врахує площу трикутника, зафарбованого сірим кольором. Далі рух буде здійснено за межами кута з вершиною у початку координат і сторонами, що містять кінці пройденого відрізка. Після можливого повернення в цей кут можливий рух:

• або вздовж його сторони (цей випадок не проілюстровано, відповідний доданок у виразі для площі дорівнює нулю);

• або з «відбиванням від сторони» (цей випадок також не проілюстровано);

• або у від'ємному напрямку вимірювання кутів (вздовж відрізку синього кольору на малюнку у центрі).

В останньому випадку вираз для площі зменшиться на площу трикутника, зафарбованого блідо-синім кольором, а у межах кута буде враховано лише площу чотирикутника, зафарбованого сірим кольором на малюнку у центрі. Далі рух буде здійснено за межами кута з вершиною у початку координат і сторонами, що містять кінці пройденого відрізка. Після можливого повернення в цей кут можливий рух:

• або вздовж його сторони (цей випадок не проілюстровано, відповідний доданок у виразі для площі дорівнює нулю);

• або з «відбиванням від сторони» (цей випадок також не проілюстровано);

• або у додатному напрямку вимірювання кутів (вздовж відрізку червоного кольору на малюнку праворуч).

В останньому випадку вираз для площі зросте на площу трикутника, зафарбованого сірим кольором, а у межах кута буде враховано і площу чотирикутника, і площу трикутника, зафарбованих сірим кольором на малюнку праворуч.

Примітка. З доведення теореми 3 випливає, що знак виразу під знаком модуля у формулюванні теореми вказує на те, з якого боку сторін розташовано многокутник при обході по периметру. Для традиційних розташування осей координат і додатного напряму виміроювання кутів (проти руху годинникової стрілки) додатний знак виразу вказує на, що многокутник розташовано ліворуч, від'ємний знак — на, що многокутник розташовано праворуч.

Рівняння площини у просторі
Для довільної площини у просторі існує вектор v (α; β; γ) довжини 1, спрямований від початку координат до площини і перпендикулярний до неї. Цей вектор визначають однозначно для площини, якщо вона не проходить через початок координат, і з точністю до напряму, якщо вона проходить. Нехай δ ≥ 0 — відстань від початку координат до даної площини, М(х, у, z) — довільна точка координатного простору. Тоді проекція OM на v має такий вигляд:

Отже, відстань М(х; у; z) до площини дорівнює | αx + βy + γz – δ |.

Нормальне рівняння цієї площини має такий вигляд:

Помноживши обидві частини нормального рівняння на довільне дійсне число, відмінне від нуля, отримаємо рівняння загального вигляду:

де | A | + | B | + | C | ≠ 0, а вектор u (A; B; C) перпендикулярний до площини. Із рівняння загального вигляду можна отримати нормальне рівняння, поділивши обидві частини рівняння:

Відстань від точки М(x₀; y₀; z₀) до площини, що заданої рівнянням загального вигляду, дорівнює:

Якщо всі коефіцієнти загального рівняння площини відмінні від нуля, то його можна звести до рівняння у відрізках, що має такий вигляд:

Рівняння прямої у просторі
Параметричне рівняння прямої, що проходить через дану точку (x₀; y₀; z₀) і паралельна вектору v (l; m; n), має такий вигляд:

Канонічне рівняння цієї прямої має такий вигляд:

Рівняння прямої, яка проходить через дві різні точки (x₀; y₀; z₀) і (x₁; y₁; z₁), має такий вигляд:

Пряму можна задати як перетин площин за допомогою такої системи рівнянь:

Ця пряма існує, якщо площини {A_jx + B_jy + C_jz + D_j = 0}, j = 1, 2 не паралельні. Ця умова еквівалентна умові непаралельності перпендикулярів до площини v (A₁; B₁; C₁) і w (A₂; B₂; C₂).

Кут між площинами, які задано такими рівняннями: {A_jx + B_jy + C_jz + D_j = 0}, j = 1, 2, дорівнює куту між перпендикулярами до них, а його косинус обчислюють так:

Кут між прямою і площиною, заданими відповідно канонічним рівнянням та рівнянням загального вигляду, доповнює до π/2 між прямою та перпендикуляром до площини, а його синус дорівнює такому відношенню:

• M' ∈ α — точка M' належить до площини α;
• (МM') || a — прямі (МM') і a паралельні.

Рівняння для знаходження М(x₀ + lt; y₀ + mt; z₀ + nt) — проекції М₀(x₀; y₀; z₀) на площину {Ax + By + Cz + D = 0} паралельно вектору v(l; m; n) — має такий вигляд:

Означення 2. Точка M' — проекція точки М на пряму а паралельно площині α, якщо справджуються обидві умови:

• M' ∈ a — точка M' належить до прямої a;
• (МM') || α — пряма (МM') і площина α паралельні.

Рівняння для визначення М(x₀ + lt; y₀ + mt; z₀ + nt) — проекції М₁(x₁; y₁; z₁) на пряму, задану параметричним рівнянням, паралельно площині, заданій рівнянням у загальному вигляді, — має такий вигляд:

Кабінетна проекція — така паралельна проекція декартового координатного простору на площину, при якій дві координатні осі проектують у взаємно перпендикулярні прямі зі збереженням довжини відрізків вздовж цих осей. Ці проекції утворюють рівні кути по 135° з проекцією третьої осі, при проектуванні якої відстані зменшують удвічі вздовж неї. Такою є, наприклад, проекція координатного простору на координатну площину yz паралельно v ( – 2√2; 1; 1):

Таке відображення — проекція на площину {x + y + z = 0} перпендикулярно до неї з подальшим розтягом у (3 ⁄ 2)^1/2 разів відносно проекції початку координат.

Площа проекції паралелограма

Означення 3. Для будь-яких дійсних b₁, b₂, c₁, c₂ означимо визначник 2-го порядку:

Теорема 4. Площа ортогональної проекції на площину xy паралелограма, сторони якого — вектори b (b₁; b₂; b₃) і c (c₁; c₂; c₃), дорівнює | b₁c₂ – b₂c₁|.

Доведення. Зауважимо, що шукана площа дорівнює площі паралелограма, сторони якого — вектори v₁(b₁; b₂; 0) і v₂(c₁; c₂; 0) — відповідно проекції векторів b і c. А далі потрібно використати твердження теореми 1.

Векторний добуток

• | a | = | b | ∙ | c | ∙ sin φ, де φ — кут між векторами b і c у межах від 0 до π. Інакше кажучи, абсолютна величина добутку дорівнює добутку абсолютних величин співмножників на синус кута між ними, тобто площі паралелограма, сторони якого — співмножники.

• добуток a перпендикулярний до площини, утвореної співмножниками b, c ;

• трійка векторів a, b, c має додатну орієнтацію.

Якщо ж b || c, то b × c = 0.

Для позначення векторного добутку b × c використовують також позначення [b, c].

Зауваження 1. Якщо трійка векторів (a, b, c) має додатну орієнтацію, то трійки (b, c, a) i (c, a, b) також мають додатну орієнтацію.

Означення 5. Для довільних дійсних а₁, а₂, а₃, b₁, b₂, b₃, с₁, с₂, с₃ означимо визначник 3-го порядку:

Цей самий спосіб обчислення використовують і у випадку, коли а₁, а₂, а₃ — вектори одного й того самого векторного простору.

Теорема 5. Якщо:

• i (1; 0; 0), j (0; 1; 0), k (0; 0; 1) — взаємно ортогональні вектори довжини 1, що мають додатну орієнтацію;

• b (b₁; b₂; b₃ ), c (c₁; c₂; c₃) — координати векторів b i c у системі координат, утвореній векторами i, j, k,

то:

Доведення. Апліката b × с — cкалярний добуток k ∙ ( b × с ) — дорівнює добутку | b × с | (площі відповідного паралелограма) на cos α. У даному разі α — це кут між b × с, перпендикулярним до площини векторів b і с, і k, перпендикулярним до координатної площини xy. Отже, α — це кут між вказаними площинами або кут, що доповнює його до π, а абсолютна величина аплікати b × с дорівнює площі проекції відповідного паралелограма. Згідно з доведеною теоремою 4, ця площа дорівнює значенню такого виразу: |b₁c₂ – b₂c₁|. Тому достатньо пересвідчитися у правильності вибору знака аплікати у твердженні теореми.

Апліката b × с додатна лише тоді, cos α > 0, тобто коли кінці векторів k та b × с розташовані по один бік від площини xy за умови, що їхні початки належать до цієї координатної площини. Напрям с (c₁; c₂; c₃) отримують з напряму b (b₁; b₂; b₃ ) поворотом на кут у межах від 0 до π навколо напряму b × с, тому при cos α > 0 напрям v₂ (c₁; c₂; 0) отримано з напряму v₁ (b₁; b₂; 0) поворотом на кут у межах від 0 до π навколо k — див. ілюстрацію нижче.

Це можливо тоді й лише тоді, коли справджується нерівність: b₁c₂ – b₂c₁ > 0. Отже, для додатної аплікати b × с її вираз у тверджені теореми записано правильно.

Міркування для від'ємної аплікати відрізняються лише тим, що у такому разі кінці векторів k та b × с розташовано по різні боки площини xy за умови, що їхні початки належать цій площині. У такому разі напрям v₂ (c₁; c₂; 0) отримують з напряму v₁ (b₁; b₂; 0) поворотом на кут у межах від 0 до π навколо k проти додатного напряму вимірювання кутів, отже: b₁c₂ – b₂c₁ < 0 у цьому випадку.

Міркування щодо інших координат b × с аналогічні.

Наслідок 1. Векторний добуток має такі властивості:

Перша властивість кососиметричності і дві наступні лінійності векторнрго добутку — безпосередній наслідок теореми про координатне подання операції векторного множення. З огляду на це четверту властивість достатньо перевірити лише для векторів i, j, k. Це легко зробити, скориставшись такими співвідношеннями:

П'яту властивість називають тотожністю Якобі. Вона випливає з властивостей (1–4) і справджується для всіх так званих алгебр Лі, частковий випадок яких — R³ із заданою операцією векторного множення.

Мішаний добуток

Означення 6. Мішаний добуток векторів a, b, c — це a ∙ ( b × с ) — скалярний добуток a і b × с.

Теорема 6. Для векторів a (а₁; а₂; а₃), b (b₁; b₂; b₃), c (c₁; c₂; c₃) мішаний добуток a ∙ ( b × с ) дорівнює:

а його абсолютна величина — об'єм паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють a, b, c.

Доведення. Для b × с (b₂c₃ – c₂b₃, – b₁c₃ + c₁b₃, b₁c₂ – b₂c₁) і a ( а₁; а₂; а₃) маємо:

Абсолютна величина обчисленого мішаного добутку дорівнює добутку площі паралелограма, сторони якого дорівнюють b × с, на довжину проекції a на перпендикуляр до площини, утвореної векторами b і с. Довжина цієї проекції — висота відповідного паралелепіпеда. Абсолютна величина всього мішаного добутку дорівнює об'єму цього паралелепіпеда.

Наслідок 2. Мішаний добуток має такі властивості:

• Мішаний добуток векторів змінює знак на протилежний після переставлення двох співмножників:
  

• Мішаний добуток векторів не змінюється після циклічного переставлення співмножників:

  

• Мішаний добуток векторів лінійний за кожним співмножником.

• Мішаний добуток векторів не залежить від взаємної заміни знаків скалярного й векторного множення:

  

Наслідок 3. Три вектори компланарні, тобто паралельні одній площині, тоді й лише тоді, коли їхній мішаний добуток дорівнює нулю.

Наслідок 4. Якщо точки (x₁; y₁; z₁), (x₂; y₂; z₂), (x₃; y₃; z₃) не лежать на одній прямій, то рівняння площини, яка містить ці точки, має такий вигляд:

Геометричний зміст системи лінійних рівнянь

1. Якщо відповідні прямі збігаються, тобто коефіцієнти рівнянь пропорційні:

   а₁₁ а₂₂ – а₁₂ а₂₁ = b₁ а₂₂ – а₁₂ b₂ = b₂ а₁₁ – а₂₁ b₁ = 0,

   то існує безліч розв'язків, заданих одним рівнянням.

2. Якщо відповідні прямі паралельні, тобто а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁ = 0,
   але b₁ а₂₂ – а₁₂ b₂ ≠ 0
   або b₂ а₁₁ – а₂₁ b₁ ≠ 0, то система не сумісна.

3. Якщо відповідні прямі не паралельні і не збігаються, тобто координати векторів u (а₁₁; а₁₂) і v (а₂₁; а₂₂), перпендикулярних до прямих, не пропорційні:

   а₁₁ а₂₂ – а₁₂ а₂₁ ≠ 0,

   то існує єдиний розв'язок:

Зауваження 3. В істинності останніх рівностей легко пересвідчитися, знайшовши різниці обох частин рівнянь, помножених відповідно на а₂₂ і а₁₂ чи на а₂₁ і а₁₁. У курсі вищої алгебри доводиться рівність, що виражає єдиний розв'язок системи лінійних рівнянь через коефіцієнти рівнянь за допомогою визначників — спеціальних функцій коефіцієнтів рівнянь, і вивчаються властивості визначників. Загальноприйнята форма запису аргументів відповідного визначника — запис таблиці коефіцієнтів між двома вертикальними рисками, як у поданих вище правилах обчислення визначників 2-го та 3-го порядків.

Для системи трьох невироджених лінійних рівнянь відносно трьох змінних:

можливі такі випадки:

1. Якщо коефіцієнти всіх рівнянь пропорційні, тобто всі відповідні площини збігаються, то система має безліч розв'язків, заданим одним лінійним рівнянням.

2. Якщо коефіцієнти двох рівнянь пропорційні, а третього — ні, а система сумісна, то дві площини збігаються й перетинаються з третьою по прямій.

3. Якщо коефіцієнти двох рівнянь пропорційні, а система несумісна, то дві площини збігаються й паралельні третій.

4. Якщо два рівняння несумісні між собою, але кожне з них сумісне з третім, то дві паралельні площини перетинаються третьою.

5. Якщо кожна пара рівнянь несумісна, то всі площини паралельні.

6. Якщо кожна пара рівнянь сумісна, а вся система — ні, то пари площин перетинаються по паралельних прямих.

7. Якщо коефіцієнти рівнянь не пропорційні, але система має безліч розв'язків, то три площини перетинаються по прямійю.

8. У всіх інших випадках система має єдиний розв'язок:

Щоб пересвідчитися у справдженні останніх рівностей, достатньо обчислити суми правих і лівих частин рівнянь системи, помножених відповідно на:

• — для знаходження x;

• — для знаходження y;

• — для знаходження z;

4. Інструктаж з ТБ
5. Формування умінь і навичок

Завдання (можлива групова робота або робота лише над часниною завдань). Написати коди функцій, що повертають таке:

1. Коефіцієнти нормального рівняння прямої за відомими коефіцієнтами загального рівняння прямої на площині.

2. Коефіцієнти загального рівняння прямої за відомими параметрами канонічного рівняння прямої на площині.

3. Коефіцієнти загального рівняння прямої за відомими координатами двох різних точок прямої.

4. Координати точок перетину прямої з осями координат за відомими коефіцієнтами загального рівняння прямої на площині.

5. Відстань від точки до прямої за відомими коефіцієнтами загального рівняння прямої на площині і координатами точки.

6. Загальні рівняння і довжини сторін, медіан, висот і бісектрис трикутника, його площу за координатами його вершин.

7. Площу многокутника і його розташуванні відносно сторін при обході по периметру за відомими координатами послідовних вершин.

8. Коефіцієнти нормального рівняння площини за відомими коефіцієнтами загального рівняння площини.

9. Координати точок перетину площини з осями координат за відомими коефіцієнтами загального рівняння площини.

10. Кут між площинами за відомими коефіцієнтами загальних рівнянь площин.

11. Кут між прямими за відомими параметрами канонічних рівнянь прямих.

12. Кут між прямою і площиною за відомими коефіцієнтами загального рівняння площини і параметрами канонічного рівняння прямої.

13. Координати проекції точки на площину паралельно прямій за відомими координатами точки, коефіцієнтами загального рівняння площини і параметрами канонічного рівняння прямої.

14. Координати проекції точки на пряму паралельно площині за відомими координатами точки, коефіцієнтами загального рівняння площини і параметрами канонічного рівняння прямої.

15. Кображення проекції куба за відомими координатами вершин і коефіцієнтами лінійного відображення простору на площину.

16. Координати векторного добутку за відомими координатами співмножників.

17. Координати мішаного добутку за відомими координатами співмножників.

18. Розв'язок системи 2 лінійних рівнянь відносно 2 змінних за відомими коефіцієнтами рівнянь і вільними членами.

19. Розв'язок системи 3 лінійних рівнянь відносно 3 змінних за відомими коефіцієнтами рівнянь і вільними членами.

20. Геометричний зміст системи 3 лінійних рівнянь відносно 3 змінних за відомими коефіцієнтами рівнянь і вільними членами.

21. Відстань між двома прямими за відомими параметрами канонічних рівнянь прямих (мінімізувати квадрат відстані між точками на прямих, координати яких задано параметрично).

22. Загальне рівняння площини трикутника у просторі, параметри канонічних рівнянь прямих, що містять ребра, висоти, медіани й бісектриси трикутника, довжини сторін, медіан, висот і бісектрис трикутника, його площу за координатами його вершин.

6. Підбиття підсумків уроку

Продовжити речення.

1. Протягом уроку пригадав, повтрив …
2. Протягом уроку зрозумів, дізнався…
3. Найбільше сподобалось…

Виставлення оцінок.

7. Домашнє завдання

1. Вивчити навчальний матеріал уроку.
2. При потребі доробити завдання.

3. Вивести і програмно втілити формули конічного (центрального) проектування на координатну площину yz з центром проектування (a; 0; 0).

4. Побудувати зображення сторін куба з урахіванням законів перспективи.

Текст упорядкувала Солодуха Світлана Ярославівна, вчитель школи І–ІІІ ступенів № 289 Дарницького району міста Києва, під час виконання випускної роботи на курсах підвищення кваліфікації з 26.11.2018 по 30.11.2018.