Використовуючи ознаки подільності, визначити на яке з чисел 2-15 ділиться без лишку дане багатоцифрове (цифр понад 9) випадкове натуральне число.

Знайти лишок від ділення на 11 числа а) \(123^{178^{190}}\); б) \(127^{178^{190^{234}}}\); в) \(105^{178^{190^{234^{111}}}}\); г) \(101^{178^{190^{234^{111^{222}}}}}\).

Знайти лишок від ділення на 13 числа а) \(123^{178^{190}}\); б) \(127^{178^{190^{234}}}\); в) \(105^{178^{190^{234^{111}}}}\); г) \(101^{178^{190^{234^{111^{222}}}}}\).

Розкласти многочлен на множники:
a) \(120x^3 - 41x^2 - 152x + 84\);
б) \(126x^3 - 45x^2 - 146x + 80\);
в) \(600x^4 + 515x^3 - 1006x^2 - 492x + 504\) ;
г) \(756x^4 - 900x^3 - 651x^2 + 1210x - 400\) ;
ґ) \(1200x^5 + 1630x^4 - 1497x^3 - 1990x^2 + 516x + 504\);
д) \(1512x^5 - 2556x^4 - 402x^3 + 3071x^2 - 2010x + 400\).

У заданому числі 5231550024 потрібно прибрати одну цифру так, щоб нове число ділилося на 12. Яку найменшу цифру можна прибрати?

Дано дроби 8/15, 18/35. Знайти найменше з усіх чисел, при діленні якого на кожний даний дріб отримаємо натуральні числа.

До числа 10 справа і зліва дописати по одній цифрі так, щоб отримати число, кратне 36.

До числа 13 справа і зліва дописати по одній цифрі так, щоб отримати числа, кратне 45.

Три перші цифри п'ятицифрового числа — одиниці. Знайти це число, знаючи, що воно ділиться без лишку на 72.

Знайти найменше натуральне число, яке закінчується цифрою 6 і збільшується у 4 рази, якща його останню цифру поставити на перше місце.

Довести, що коли число при діленні на 13 має лишок 5, то його квадрат при діленні на 13 має лишок 10.

До деякого двоцифрового числа зліва і справа дописали по одиниці. Отримали число, яке 23 рази більше, ніж попереднє, Знайти це двоцифрове число.

Чи може різниця трицифрових чисел, записаних тими самими цифрами, але у зворотньому порядку, бути квадратом натурального числа?

Знайти всі прості числа р, для яких число p² + 14 також буде простим числом.

Число ааbbc є повним квадратом. При яких числах а і b це можливо?

На дошці написано більше 46, але менше 50 цілих чисел. Середнє арифметичне цих чисел дорівнює −11, середнє арифметичне всіх позитивних з них дорівнює 8, а середнє арифметичне всіх від'ємних з них дорівнює −16. Скільки чисел написано на дошці? Яких чисел більше: додатних чи від'ємних? Яка найбільша кількість додатних чисел може бути серед них?

Якщо до деякого п'ятицифрового числа приписати зліва цифру 6, то утвориться число, в 4 рази більше, ніж дістали 6, якщо цю цифру приписали б справа. Знайдіть це число.

Знайдіть усі пари цілих чисеп x і y, які задовольняють рівняння x² + x = y⁴ + y³ + y² + y.

Знайти всі прості числа p, для яких p² − 2q² = 1.

Знайти всі прості числа а, b, c такі, що a² − c⁴ = b².

Розв'язати в цілих числах: ху − 2х − Зу + 1 = 0.

Знайти всі прості числа p, що 8p² − 1 теж просте.

Довести, що \(\underbrace{11\cdots 11}_{2n} - \underbrace{22\cdots 22}_{n}\) — квадрат цілого числа.

Кілька з 6 аркушів розрізали на 7 шматків. Деякі знову розрізали на 7 шматків. Чи можна таким чином отримати 1991 шматків? 1992?

Доведіть, шо коли 5х − 2у ділиться на 17, то 9х + 7у також ділиться на 17.

Знайдіть всі прості числа p і q такі, що p + q = (p − q)³.

Сума цифр числа x дорівнює y, а сума цифр числа y дорівнюює z. Знайліть x, якщо x + y + z = 60.

Знайдіть трицифрове число, якщо його цифри відмінні від нуля, а сума всіх можливих двоцифрових чисел, складених з них, дорівнює цьому трицифровому числу.

Нехай p і q — два цілі непарні числа. Довести, що рівняння x² + 2px + 2g = 0 не може мати раціональних розв'язків.

Остання цифра квадрату натурального числа дорівнює 6. Доведіть, що передостання цифра є непарною.

Доведіть, що якщо записати в зворотньому порядку цифри будь-якого натурального числа, то різниця даного і новоутвореного числа буде ділитися на 9.

На складі є цвяхи по 16, 17 і 40 кг. Чи можна взяти 140 кг цвяхів, не відкриваючи жодного ящика?

Знайти цілі розв'язки рівнянь:
a) x² + у² + z² = 8t − 1;
б) 3^m + 7 = 2ⁿ;
в) 3·2^m + 1 = n².

Чи може n! закінчуватися 5 нулями?

Чи може число, яке записують за допомогою» 100 нулів, 200 одиниць і 200 двійок, бути точним квадратом?

Знайдіть найменше натуральне число, яке внаслідок множення на 2 стане квадратом, а внаслідок множення на 3 — кубом натурального числа.

Знайдіть трицифрове число, яке дорівнює квадрату двоцифрового числа й кубу одноцифрового числа.

Чи ділиться число 11...11 на 81 (одиничок є 81)?

Знайдіть найменше натуральне число, що ділиться на 26, в записі якого зустрічаються всі 10 цифр.

Зайдіть найменше натуральне число, яке записують лише одними одиницями, яке ділиться на 33...33 (в записі 100 трійок).