Передмова
Публікація містить збірку 45 текстових (тобто, без рисунків) умов завдань на побудову та використання перерізів многогранників, у процесі розв’язання яких можна істотно розвинути компетенції:

• мовлення (стислість, однозначність, агрегування опису);
• (використання) символьного запису;
• унаочнення;
• структурування й оцінювання етапів діяльності;
• опанування алгоритмами розв’язування завдань

Тобто усього того, що стане у нагоді у будь-якій царині розумової діяльності.

Публікацію адресовано вчителям математики і учням загально освітніх навчальних закладів, студентам математичних спеціальностей педагогічних університетів.

Мета публікації: познайомити з прикладами алгоритмічно і модельно змістовних завдань на побудову перерізів многогранників.

Примітка. У поданих умовах слова «через одну з точок» («через одну з прямих») означає, що вчитель вказує, через яку саме точку (пряму) має проходити площина перерізу.

1. Всі ребра правильної 2n-кутної призми (n = 3, 4, 5, 6) мають довжину 1. Знайти площу перерізу, який проходить через середини двох суміжних ребер на кожній основі й не паралельний бічному ребру.

2. Дано тетраедр ABCD. Побудувати перерiз його площиною, яка проходить через медiану DD' грані BCD i M — внутрішню точку грані ACD.

3. Через вершину тетраедра проведено площину паралельно протилежнiй грані. Побудувати лiнiї перетину цiєї площини з площинами решти граней тетраедра.

4. На ребрах AD i B'C' парале­лепiпеда ABCDA'B'C'D' дано внутрiшнi точки M i N. Побудувати перерiз парале­лепiпеда площиною, яка проходить через точки M, N паралельно ребру AB.

5. Трапеція ABCD є проекцією трапеції ABC'D' на площину, яка містить (AB). Чи однакової довжини середні лінії цих трапецій, якщо: а) AB||CD; б) BC||AD.

6. Побудувати переріз тетраедра ABCD площиною, яка містить точку M грані ABC і паралельна прямим AB i CD.

7. Чи може перерізом куба бути: а) правильний трикутник; б) квадрат; в) правильний п'ятикутник; г) правильний шестикутник; д) восьмикутник?

8. Побудувати спільний перпендикуляр діагоналі куба й ребра, яке не перетинає діагональ.

9. Побудувати переріз куба площиною, яка перпенди­кулярна до його діагоналі й ділить її навпіл.

10. Побудувати переріз чотирикутної призми площиною, що проходить через три точки, які належать трьом різним бічним ребрам.

11. SO — висота правильної чотирикутної піраміди SABC. Побудувати переріз піраміди площиною, яка проходить через вершину A перпенди­кулярно до ребра CS, якщо відношення SO / AB дорівнює: 1, 2, 3, 3/2, 2/3^½ або 2^½.

12. Висота чотирикутної піраміди SABCD проектується в O — точку перетину діагоналей ромба ABCD, який є основою піраміди. Побудувати переріз піраміди площиною, яка проходить через вершину A перпенди­кулярно до ребра CS, якщо відношення AB / OS дорівнює: 4, 2, 4/3, 5/4, 2/3 або 4/7.

13. Побудувати переріз правильної піраміди SABCD площиною, яка проходить через ребро AD перпенди­кулярно до грані BCS, якщо відношення висоти піраміди до сторони основи дорівнює: 3^½/2, 1, 2, 2/3, 3/2 або 3/4.

14. Бічне ребро правильної призми ABCA'B'C' дорівнює стороні її основи. На ребрі AC розташовано точки K₁, K₂, K₃, K₄, так, що

    AK₁ = K₁K₂ = K₂K₃ = K₃K₄ = K₄C.

    Побудувати переріз призми площиною, перпенди­кулярною до прямої BC', яка проходить через точку: A, K₁, K₂, K₃, K₄ або C.

15. Дано трикутну призму ABCA'B'C'. Побудувати її переріз площиною, що проходить черех точки M ∈ AA', L ∈ BB', K ∈ AC.

16. Дано чотирикутну призму ABCDA'B'C'D'. Побудувати її переріз площиною, що проходить через точки K ∈ AD, P ∈ DD', M ∈ CC'.

17. Дано призму ABCDEA'B'C'D'E'. Побудувати її переріз площиною, що містить:
    а) точки A, C і середину ребра DD';
    б) точки A, B і середину ребра CC'.

18. На трьох різних бічних гранях призми дано по одній точці. Побудувати переріз призми площиною, яка проходить через ці точки.

19. Побудувати переріз 6-кутної призми ABCDEFA'B'C'D'E'F' площиною, що проходить через точки M ∈ AA', N ∈ BB', K ∈ CC' за умови, що площина MNK не паралельна площині основи.

20. Дано піраміду SABCDE. Побудувати її переріз площиною, що проходить через точки A' ∈ SA, B' ∈ SB, C' ∈ SC за умови, що площина A'B'C' не паралельна площині основи ABCDE.

21. Дано трикутну піраміду і по точці на трьох її різних гранях. Побудувати переріз даної піраміди, що проходить через дані точки.

22. Дано куб ABCDA'B'C'D' з ребром a. Побудувати переріз куба площиною і знайти площу перерізу, якщо:
    а) площина проходить через вершини D', A й середину BB';
    б) площина проходить через середини ребер AD, DC й вершину B'.

23. Побудувати переріз тетраедра ABCD площиною, що проходить через точки M, N, P, які є внутрішніми точками граней ABC, ABD, ACD відповідно.

24. Побудувати переріз тетраедра ABCD площиною, що проходить через точки M, N, P, які є внутрішніми точками граней ACD, BCD і ребра AB відповідно.

25. Побудувати переріз паралелепіпеда ABCDA'B'C'D' площиною MNP, якщо точки M, N, P, належать відповідно до:
    а) ребра AB і граней AA'D'D, BB'C'C;
    б) граней ABCD, AA'B'B, BB'C'C.

26. На трьох попарно мимобіжних ребрах паралелепіпеда взято три точки. Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, яка містить дані точки.

27. Знайдіть точку перетину площини, яка проходить через ребро [AD] тетраедра ABCD і точку M ∈[BC], з прямою (PQ), де P ∈[AB], Q ∈ [CD].

28. Площину α задано трьома різними точками K, L, M, які належать до ребер відповідно AD, BD, CD тетраедра ABCD. Побудувати точку перетину площини α з прямою, проведеною через вершину D та точку перетину медіан грані ABC.

29. Побудувати переріз куба ABCDA'B'C'D' площиною, проведеною через вершину B та середини ребер CC' і A'D'.

30. K — середина ребра BD у правильному тетраедрі ABCD. Побудувати:

    • прямі KM і KN, які перпенди­кулярні відповідно прямим (AD) і (CD) і перетинають їх e точках M і N;

    • точку перетину площини (KMN) з прямою, яка з'єднує вершину D і точку перетину медіан протилежної грані.

    Знайти площу ΔKMN, якщо довжина ребра тетраедра дорівнює a.

31. Точка M належить ребру AA' куба ABCDA'B'C'D', причому |AM| : |AM'| = 2. Побудувати переріз, який проходить через M і поділяє навпіл ребра BB' і CC'. Знайдіть найбільшу сторону перерізу, якщо довжина ребра куба дорівнює a.

32. У тетраедрі ABCD вершину D з'єднано з M — точкою перетину медіан грані ABC. Побудувати переріз тетраедра площиною, яка проходить через точку N ∈ [DM] паралельно грані BCD.

33. На діагоналі BD' куба ABCDA'B'C'D' розташовано точки F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆ таким чином, що

    BF₁ = F₁F₂ = F₂F₃ = F₃F₄ = F₄F₅ = F₅F₆ = F₆D'.

    Побудувати перерізи куба площиною, яка проходить перпенди­кулярно до діагоналі BD' через: F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆.

34. На діагоналі BD' куба ABCDA'B'C'D' розташовано точки F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆ таким чином, що

    BF₁ = F₁F₂ = F₂F₃ = F₃F₄ = F₄F₅ = F₅F₆ = F₆D'.

    Вказати й побудувати множину точок на поверхні куба, рівновіддалених від вершини D та однієї з точок: F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆.

35. У прямому паралелепіпеді ABCDA'B'C'D' AB : AD : AA' = 1 : 2 : 1, а в основі лежить паралелограм ABCD з кутом 60° при вершині A. На діагоналі BD' розташовано точки F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆ таким чином, що

    BF₁ = F₁F₂ = F₂F₃ = F₃F₄ = F₄F₅ = F₅F₆ = F₆D'.

    Побудувати переріз паралелепіпеда куба площиною, яка проходить перпенди­кулярно до діагоналі BD' через одну з точок: F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆.

36. В основі паралелепіпеда ABCDA'B'C'D' — квадрат ABCD, вершини якого рівновіддалені від A'. Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, яка проходить через вершину C перпенди­кулярно до ребра AA', якщо відношення AB/AA' дорівнює: 2/3, 1/2, 2/5, 1/3, 2/7 або 1/4.

37. В основі піраміди SABC — прямокутний ΔABC. Ребро AS перпенди­кулярне до площини основи, AS = AC = BC. На ребрі BC розташовано точки F₁, F₂, F₃, F₄, F₅ таким чином, що

    BF₁ = F₁F₂ = F₂F₃ = F₃F₄ = F₄F₅ = F₅C.

    Побудувати переріз піраміди площиною, перпенди­кулярною до ребра BS, яка проходить через одну з точок: F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, С.

38. В основі піраміди SABC — прямокутний ΔABC. Ребро AS перпенди­кулярне до площини основи, AS = AC = BC. На ребрі BC розташовано точки F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆ таким чином, що

    BF₁ = F₁F₂ = F₂F₃ = F₃F₄ = F₄F₅ = F₅F₆ = F₆C.

    Побудувати переріз піраміди площиною, перпенди­кулярною до ребра BS, яка проходить через одну з точок: F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆, С.

39. В основі піраміди SABCS — прямокутний трикутник ABC. Ребро AS перпенди­кулярне до площини основи, AS = AC = BC. На ребрі AB розташовано точки F₁, F₂, F₃, F₄, F₅ таким чином, що

    AF₁ = F₁F₂ = F₂F₃ = F₃F₄ = F₄F₅ = F₅B.

    M — середина ребра CS. Побудувати переріз піраміди площиною, перпенди­кулярною до прямої BM, яка проходить через одну з точок: F₁, F₂, F₃, F₄, F₅ або А.

40. В основі піраміди SABCD — квадрат ABCD. Бічне ребро AS перпенди­кулярне до площини основи, AS = AB. На ребрі BS розташовано точки K₁, K₂, K₃ таким чином, що

    BK₁ = K₁K₂ = K₂K₃ = K₃S,

    а на ребрі СS — L₁, L₂ таким чином, що

    CL₁ = L₁L₂ = L₂S,

    Побудувати переріз піраміди площиною, яка перпенди­кулярна до площини BCS і проходить через одну з прямих: K₁L₁, K₁L₂, K₂L₁, K₂L₂, K₃L₁, K₃L₂.

41. В основі піраміди SABCD — квадрат ABCD. AS = AB. Бічне ребро AS перпенди­кулярне до площини основи. На ребрі AD розташовано точки K₁, K₂, K₃ таким чином, що

    AK₁ = K₁K₂ = K₂K₃ = K₃D,

    а на ребрі СD — L₁, L₂ таким чином, що

    CL₁ = L₁L₂ = L₂D,

    M — середина ребра BS. Побудувати переріз піраміди площиною, яка перпенди­кулярна до прямої BM і проходить через одну з точок D, K₁, K₂, K₃, L₁, L₂.

42. В основі піраміди SABCD — прямокутник ABCD, AD = 2AB. Бічне ребро AS перпенди­кулярне до площини основи, AS = AB. На ребрі BS розташовано точки K₁, K₂, K₃ таким чином, що

    BK₁ = K₁K₂ = K₂K₃ = K₃S,

    а на ребрі СS — L₁, L₂ таким чином, що

    CL₁ = L₁L₂ = L₂S.

    Побудувати переріз піраміди площиною, яка перпенди­кулярна до площини BCS і проходить через одну з прямих: K₁L₁, K₁L₂, K₂L₁, K₂L₂, K₃L₁, K₃L₂.

43. У правильній чотирикутній піраміді SABCD висота SO удвічі довша за сторону основи. На ребрі BS розташовано точки F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆ таким чином, що

    BF₁ = F₁F₂ = F₂F₃ = F₃F₄ = F₄F₅ = F₅F₆ = F₆S.

    Побудувати переріз піраміди площиною, перпенди­кулярною до площини BСS, яка проходить через точку D і одну з точок: F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆.

44. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA'B'C'D' |AB| : |BC| : |BB'| = 3 : 2 : 1. Опустити перпендикуляри з точки B' на прямі BC' та A'B.

45. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA'B'C'D' |AB| : |BC| : |BB'| = 3 : 2 : 1. Знайти точку перетину:
    а) ребра AB з бісектрисою кута BB'A';
    б) прямої CC' з бісектрисою кута BB'C'.

1. В. М. Клопский, З. А. Скопец, М. И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы под редакцией З.А. Скопеца. Издание 4-е. Москва, «Просвещение», 1978, 255 с.

2. Сборник задач по геометрии. Составители: Ануфриенко С.А., Гольдин А.М., Гулика С.В., Кремешкова С.А., Расин В.В., Смирнова Е.В. Екатеринбург, 2008. 117с

3. Матеріали сайту ege-ok.ru.