Передмова
Публікація містить збірку 37 умов завдань на побудову перерізів многогранників, поданих лише рисунками. У процесі розв’язання цих завдань можна істотно розвинути компетенції щодо:

• мовлення (стислість, однозначність, агрегування опису);
• (використання) символьного запису;
• унаочнення;
• структурування й оцінювання етапів діяльності;
• опанування алгоритмами розв’язування завдань

Тобто усього того, що стане у нагоді у будь-якій царині розумової діяльності.

Публікацію адресовано вчителям математики і учням загально освітніх навчальних закладів, студентам математичних спеціальностей педагогічних університетів.

Мета публікації: познайомити з прикладами алгоритмічно і модельно змістовних завдань на побудову перерізів многогранників — 4-, 5- і 6-кутних призм, 4-, 5- і 6-кутних пірамід.

Перед тим, як пропонувати учням розв'язати одне із поданих далі завдань, потрібно проаналізувати з учнями демонстраційні розв'язання простіших задач на побудову перерізу 3-кутної піраміди чи паралеле­піпеда за трьома даними точками площини перерізу на ребрах, гранях (продовженнях ребер чи площинах граней). Демонстраційні розв'язання повинні містити таке.

Cкладові розв'язання задач на побудову:

• аналіз (побудова й аналіз моделі — сукупності зв'язків між тим, що дано, і тим, що потрібно побудувати). Інколи достатньо зобразити:
  • многогранник;
  • дані точки перерізу та їхні проекції на площину основи;
  • пряму перетину площини перерізу з площиною основи (слід);
  • прямі перетину площин граней з площиною основи;

• алгоритм побудови, в якому вказано, у якому порядку і які об'єкти фігури у просторі ми знаходимо у результаті дій у площині. Наприклад, точку перетину прямої з площиною знаходимо як точку перетину прямої з її проекцією на площину. У поєднанні з відомими властивостями паралель­ного проектування це дає можливість унаочнити процес побудови. Алгоритм та ілюстрацію достатньо подати для поданого в умові зображення проекцій многогранника і даних точок площини перерізу;

• доведення того, що отримана фігура — шуканий переріз. Інколи достатньо подати таке висловлювання: «Згідно з побудовою точки … належать до однієї площини, тому многокутник … шуканий переріз»;

• дослідження:

  • що може бути множною перерізу і за яких умов;

  • як потрібно змінити алгоритм побудови, якщо деякі необхідні елементи побудови для поданого алгоритму не існують.

  Це найважча і найважливіша для розумового розвитку учнів складова розв'я­зання задач на побудову перерізу. Вона пов'язана з уточненням алгоритму на всі можливі (у тому числі й нетипові) випадки взаємного розташування об'єктів, описаних в умові задачі.

Інколи найпростіші складові — аналіз і доведення — вчителі дозволяють учням не записувати. Це допустимо. Але учні повинні пам'ятати, що кожного разу, як їм пропонуватимуть задачі на побудову перерізу, вони повинні уточнювати, чи не буде понижено оцінку за відсутність цих складових у розв'язанні.

Інколи вчителі при оцінюванні не звертають уваги на відсутність дослідження. Незалежно від цього учні повинні знати про обов'язковість цієї складової.

Завдання. Побудувати переріз многогранника площиною, яка містить дані три точки або дані точку і перетин площини перерізу з площиною основи призми чи піраміди. На рисунках точки позначено:

• або кругом ● у випадку розташування на видимих ребрах чи гранях;

• або колом ○ у випадку розташування на невидимих ребрах чи гранях або всередині многогранника. В останньому випадку на рисунку вказано проекцію точки на площину основи.

На поданих далі рисунках видимі ребра зображено ширшими лініями, решта відрізків — невидимі ребра многогранника, перетин площини перетину з площиною основи (нижньою для призми) — лініями меншої ширини.

Примітка. Вище подано умови завдань без словесного опису умови з елементами символьного запису. Такий опис досвідченому вчителю неважко записати. Але краще цю роботу запропонувати учням, щоб перевірити їхнє уміння сприймати рисунок й правильно описувати рисунок, запроваджуючи власну систему позначень. Для останнього рисунку опис може бути таким:

І варіант
Для даної піраміди SABCDEF з вершиною S побудувати переріз її площиною, що містить точки K, L, M:

• K — дана внутрішня точка грані ABS;

• L — дана внутрішня точка грані CDS;

• M — дана внутрішня точка піраміди, для якої на рисунку вказано M' — точку перетину променя SM з площиною основи ABCDEF. Інакше кажучи, на рисунку вказано центральну (конічну) проекцію M на площину основи ABCDEF з центром проектування S.

ІІ варіант
Для даної піраміди SABCDEF з вершиною S побудувати переріз її площиною (KLM) при даних K ∈ int ΔABS, L ∈ int ΔCDS, M ∈ int SABCDEF і вказаної на рисунку точки M' ∈ (OM) ∩ (SABCDEF).

Рисунок до такого формулювання умови міститиме підписи точок, згаданих в умові.

Література

1. В. М. Клопский, З. А. Скопец, М. И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы под редакцией З.А. Скопеца. Издание 4-е. Москва, «Просве­щение», 1978, 255 с.

2. Сборник задач по геометрии. Составители: Ануфриенко С.А., Гольдин А.М., Гулика С.В., Кремешкова С.А., Расин В.В., Смирнова Е.В. Екатеринбург, 2008. 117с

3. Матеріали сайту ege-ok.ru.