Елементи теорії груп

За яких обставин потрібно знайомити здобувачів загальної середньої освіти з елементами теорії груп? При спрямуванні курсу математики на виконання (проходження чи навіть пробігання) навчальної програми лише з метою пройти ЗНО/НМТ чи просто завершити навчання у школі без встановлення у свідомості здобувача логічної структури предмету, ознайомлення з поняттям групи та її властивостями зайве. Можливо, навіть шкідливе в умовах катастрофічного браку часу на вироблення навичок розв'язування типових задач при відсутності передумов успішного навчання математиці (мова про вміння концентрувати увагу й запам'ятовувати). Але при намаганні дати цілісне уявлення про математику з максимальним використанням можливостей її вивчення для розумового розвитку здобувачів освіти, у тому числі щодо системного підходу й категорійного мислення, уникнути запровадження й використання поняття групи неможливо. Наприклад, необхідно відповісти на такі запитання:

• тотожність правого й лівого оберненого елементів — це властивість конкретної алгебричної структури (наприклад, множин чисел: цілих за додаванням, раціональних, відмінних від нуля, чи додатніх раціональних за множенням) чи властивість, притаманна усім об'єктам, що мають структуру групи;

• єдиність одиниці й тотожність правої і лівої одиниці — це властивість конкретної алгебричної структури чи властивість, притаманна усім об'єктам, що мають структуру групи;

• перелічені вище властивості можна довести чи потрібно постулювати в означенні.

Теорію груп започаткував французький математик Еварист Галуа (1811—1832). Мова теорії груп — це мова сучасної математики, що приносить результати. Наприклад, усі останні, починаючи з ХХ століття, результати, пов'язані із знаходженням точних розв'язків нелінійних рівнянь, у тому числі диференціальних у часткових похідних, пов'язані з виявленням і використанням скритих груп симетрій. А деякі складні комбінаторні задачі мають доволі простий (який може запрограмувати 9-класник) алгоритм розв'язання, отриманий як наслідок теореми Редфілда-Пойя. А цю теорему сформульована і доведено з використанням понятійного апарату теорії груп. І іншого способу отримати ефективний розв'язок наразі немає.

Мета публікації: описати спосіб запровадження поняття групи, прийнятний і зрозумілий для здобувачів загальної середньої освіти. Навіть факультативно чи самостійно, не перебуваючи в умовах поглибленого/профільного вивчення математики. Для цього розглянуто скінчені групи, що мають прозоре геометричне тлумачення.

Запровадження поняття групи бажане безпосередньо після коректного запровадження поняття цілого числа. Множина цілих чисел є (можливо, найлегшим для сприйняття) прикладом групи (за додаванням). А при логічно-послідовному вивченні шкільного курсу математики множина цілих чисел — це хронологічно перший змістовний приклад групи на об'єкті, обов'язковому для вивчення у закладі загальної середньої освіти ще задовго до знайомства з множинами рухами площини чи простору.

Означення 1. Множину G називають групою, якщо справджуються такі висловлювання.

1. Задано закон множення (композиції), який впорядкованій парі (a; b) елементів G ставить у відповідність добуток ab — елемент G, який називають добутком b на a зліва або добутком a на b справа.

2. Справджується сполучний закон множення: (ab) c = a (bc).

3. Існує ліва одиниця множення (нейтральний елемент) групи e, тобто такий елемент групи, множення на який зліва не змінює жоден елемент групи: ex = x.

4. Для довільного елемента а групи існує лівий обернений до нього а^–1, тобто такий, при якому добуток оберненого елемента на сам елемент дорівнює лівій одиниці множення: а^–1 a = e.

Групу називають комутативною (абелевою), якщо множення комутативне, тобто добуток не залежить від порядку співмножників: ab = ba.

Наприклад, множина цілих чисел є абелевою групою за додаванням. Закон асоціативності множення формулюють ще й так: добуток не залежить від порядку виконання дії множення (не плутати з порядком співмножників). Саме у такій редакції його потрібно поширити на більшу кількість співмножників, розуміючи добуток як, наприклад, результат виконання дії множення у порядку запису зліва направо: abc = (ab) c, abcd = ((ab) c) d і т. і.

Множина взаємно однозначних відображень довільної множини в себе є групою щодо суперпозиції, тобто послідовного застосування відображень.

Розглянемо, наприклад, множину взаємно однозначних відображень множини {1, 2, 3} на себе. Кожне таке відображення можна подати таблицею з 2 рядків і 3 стовпчиків, де у верхньому рядку записано аргументи 1, 2, 3, а у нижньому рядку — i₁, i₂, i₃ — образи (значення функції-відображення) цих архументів. Перелічимо всі можливі такі відображення: $$ e_1 =\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\1&2&3\end{array}\right),\qquad e_2 =\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\2&3&1\end{array}\right),\qquad e_3 =\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\3&1&2\end{array}\right),$$ $$ e_4 =\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\1&3&2\end{array}\right),\qquad e_5 =\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\3&2&1\end{array}\right),\qquad e_6 =\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\2&1&3\end{array}\right).$$ Задача 1. Заповнити таблицю множення, $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &e_1&e_2&e_3&e_4&e_5&e_6\\\hline e_1&&&&&&\\\hline e_2&&&&&&\\\hline e_3&&&&&&\\\hline e_4&&&&&&\\\hline e_5&&&&&&\\\hline e_6&&&&&&\\\hline \end{array}$$ у якій наявні назви рядка і стовпчика — позначення взаємно однозначних відображень множини {1, 2, 3}, що є відповідно лівими і правими множниками, а вписуваний елемент таблиці — позначення для добутку-суперпозиції цих відображень. Чи можна твердити, що множина із заданим законом композиції є групою? Які ще висновки можна зробити щодо цієї множини?

1. Верхній вписаний рядок містить назви стовпчиків у тому самому порядку. Лівий вписаний стовпчик містить назви рядків у тому самому порядку. Інакше кажучи, e₁ e_j = e_j e₁ = e_j при j = 1, 2, ... , 6. Тобто, e₁ — нейтальний елемент при множенні і зліва, і справа. Більше таких елементів (хоча б для множення з одного боку) немає.

2. У кожному вписаному рядку й у кожному вписаному стовпчику e₁ записано один раз. Інакше кажучи, для кожного з елементів існує один обернений елемент.

3. У заповнених клітинах позначення нейтрального елемента e₁ розташовано симетрично відносно головної діагоналі. Інакше кажучи, для кожний обернений елемент при множенні зліва є оберненим елементом при множення справа.

4. Справджується сполучний закон множення, що можна перевірити, використавши створену таблицю множення. Або довести, виходячи з визначення досліджуваної множини.

5. Досліджувана множина має структуру групи і певні властивості (див. пункти 1 і 3), не перелічені в означенні групи. Природно дослідити, чи ці властивості притаманні довільній групі.

6. Підмножина {e₁, e₂, e₃} також має структуру абелевої групи. Кількість її елементів (3) є дільником кількості елементів групи {e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆}, що її містить і не є абелевою (наприклад, e₅ e₆ \(\neq\) e₆ e₅).

Крім обчислень "на кінчику пера" чи навіть усних інколи доцільно використовувати програми для обчислень. Наприклад, таблицю множення, подану у відповіді до задачі 1, можна отримати з допомогою такої програми мовою Python.

n=6                                                 # кількість елементів групи
a=[[0,1,2],[1,2,0],[2,0,1],[0,2,1],[2,1,0],[1,0,2]] # подання групи перестановками
for j in range(n):
  s="e_"+str(j+1) 
  for k in range(n):
    b=[a[j][a[k][0]],a[j][a[k][1]],a[j][a[k][2]]]   # добуток перестановок
    for l in range(n):
      if ((b[0]==a[l][0]) and (b[1]==a[l][1]) and (b[2]==a[l][2])): s=s+"&e_"+str(l+1)
  print(s)

Програма друкує такий фрагмент тексту для видавничої системи LaTeX.

e_1&e_1&e_2&e_3&e_4&e_5&e_6
e_2&e_2&e_3&e_1&e_6&e_4&e_5
e_3&e_3&e_1&e_2&e_5&e_6&e_4
e_4&e_4&e_5&e_6&e_1&e_2&e_3
e_5&e_5&e_6&e_4&e_3&e_1&e_2
e_6&e_6&e_4&e_5&e_2&e_3&e_1

У програмі номери елементів зменшено на 1 з метою уникнення громіздкого коду, бо у мові програмування Python нумерація елементів списку починається з нуля.

Теорема 1. Для довільної групи справджуються такі висловлювання.

1. Лівий обернений елемент є також правим оберненим елементом, який для кожного елемента групи єдиний: a а^–1 = e.

2. Ліва одиниця є також правою одиницею, тобто множення на неї справа не змінює жоден елемент групи: ae = a.

3. Одиниця множення у групі єдина.

Доведення:

• помножимо зліва рівність а^–1 aа^–1 = а^–1 на елемент, обернений до а^–1 і використаємо асоціативність множення. В результаті отримаємо: a а^–1 = e, тобто лівий обернений елемент є також правим оберненим;

• a = ea = (a а^–1) a = a (а^–1 a) = ae, тобто кожна ліва одиниця є одночасно правою одиницею;

• помноживши зліва і справа довільний елемент a групи на його обернені b і c та по-різному розставляючи дужки, тобто використовуючи асоціативність множення, легко пересвідчитися, що обернений елемент єдиний: b = b (ac) = (ba) c = c;

• обчислюючи добуток e та e' — (одночасно лівих і правих) одиниць групи —, легко пересвідчитися, що одиниця групи єдина: e = ee' = e'.

Означення 2. Запровадимо такі поняття.

1. Непорожню підмножину A групи G називають підгрупою групи G, якщо:

   • добуток двох елементів A також належить до A;

   • елемент, обернений до елемента з A також належить до A.

2. Нехай A — підгрупа групи G. Правим класом групи G за підгрупою A називають множину вигляду Ax = {ax | a ∈ A}, де x — довільний елемент групи G (аналогічно означають лівий клас суміжності).

3. Підстановкою називають взаємно однозначне відображення скінченої множини у себе. Не обмежуючи загальності міркувань, надалі будемо розглядати лише множини вигляду {1, 2, ... , n} — множини всіх перших n натуральних чисел.

4. Транспозицією називають підстановку, яка кожному елементу, за виключенням двох, ставить у відповідність цей самий елемент.

5. Множину всіх підстановок на множині {1, 2, …, n} при сталому n називають симетричною групою і позначають S_n.

6. Порушенням порядку підстановки на множині {1, 2, …, n}, що числу j ставить у відповідність число i_j при j = 1, 2, …, n, називають сумісну систему таких двох нерівностей: j < k та i_j > i_k.

7. Підстановку називають парною, якщо кількість транспозицій, у добуток яких можна розкласти дану підстановку, є парною.

8. Множину всіх парних підстановок на множині {1, 2, …, n} при натуральному n називають знакозмінною групою і позначають A_n .

9. Циклом довжини k називають підстановку, яка певний елемент j₁ відображає у деякий елемент j₂, j₂ — в j₃ , …, j_k –1 — в j_k , j_k — в j₁ за умови, що всі елементи j₁, j₂, …, j_k — різні. Такий цикл позначають (j₁ j₂ … j_k).

10. Дві групи називають ізомофними, якщо існує взаємно однозначне відображення f однієї групи в іншу, при якому образ добутку елементів однієї групи є добутком образів співмножників у тому самому порядку: f (ab) = f (a) f (b). Таке відображення f називають ізоморфізмом відповідних груп.

Задача 2. Для кожного з пунктів означення 2 вказати, який вигляд мають ці поняття на прикладі групи, розглянутої у попередній задачі 1.

Відповідь.

1. Множина {e₁, e₂, e₃} має структуру (абелевої) групи і є підгрупою групи {e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆}.
2. При A = {e₁, e₂, e₃} маємо: Ae₄ = Ae₅ = Ae₆ = {e₄, e₅, e₆}.
3. Кожний з елементів e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆ є підстановкою в 3-елементній множині.
4. Лише e₄, e₅, e₆ є транспозиціями.
5. S₃ = {e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆}.
6. У підстановках e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆ кількість порушень порядку відповідно дорівнює 0, 2, 2, 1, 3, 1.
7. Підстановки e₁, e₂, e₃ є парними, пістановки e₄, e₅, e₆ є непарними.
8. A₃ = {e₁, e₂, e₃}.
9. e₁ = (1)(2)(3),   e₂ = (123),   e₃ = (132),   e₄ = (1)(23),   e₅ = (13)(2),   e₆ = (12)(3).

10. Якщо тлумачити 1, 2, 3 як номери вершин правильного трикутника, то отримуємо ізоморфність S₃ і групи симетрій правильного трикутника:

    • e₁, e₂, e₃ відповідають поворотам правильного трикутника навколо його центра відповідно на 0°, 120° і 240°;

    • e₄, e₅, e₆ відповідають дзеркальним симетріям правильного трикутника відносно прямих, що проходить через одну з вершин трикутника перпендикулярно до протилежної сторони.

Зауваження 1. Довільну підстановку можна подати добутком циклів без спільних елементів.

Зауваження 2. Для довільної скінченої групи множення справа (зліва) на певний елемент задає підстановку на множині елементів цієї групи. Тому довільна скінчена група ізоморфна підгрупі S_n , де n = | G | — кількість елементів групи G.

Зауваження 3. Класи суміжності за однією підгрупою мають однакову кількість елементів, що збігається з кількістю елементів підгрупи.

Теорема 2. Справджуються такі висловлювання (довести самостійно у ході розв'язання задач з переліку рекомендованих).

1. Транспозиція, що пересталяє сусідні натуральні числа, змінює кількість порушень порядку на 1.

2. Довільна транспозиція змінює кількість порушень порядку на непарне число.

3. Парність кількості транспозицій у розкладі підстановки не залежить від конкретного подання добутком транспозицій і збігається з парністю кількості порушень порядку.

4. Цикл з непарної довжиною є добутком парної кількості транспозицій.

5. Цикл з парної довжиною є добутком непарної кількості транспозицій.

6. Підстановка є парною тоді й лише тоді, коли її подання добутком циклів без спільних елементів містить парну кількість циклів парної довжини.

Охочим поглибити свої знання щодо властивостей груп підстановок (характеристика підстановки, цикловий індекс групи підстановок, орбіта, стабілізатор, лема Бернсайда, теорема Редфілда — Пойа) рекомендуємо статтю "Перелік графів і теорема Редфілда — Пойя". Матеріал статті «обкатано» на учнях 10 і 11 класів під час викладання спеціального курсу «Прикладна математика» у Києво-Печерському ліцеї № 171 «Лідер» і удосконалено згідно з рекомендаціями учнів.

При вивченні геометрії неможливо уникнути поняття руху. Хоча б тому, що деякі задачі (у тому числі, на побудову) можна ефективно розв'язати лише з допомогою певних рухів, що утворюють групу. І світоглядними у цьому випадку є висловлювання теореми Шаля (подано без доведення, бо це виходить за межі змісту цього модуля зокрема і традиційного курсу алгебри взагалі):